拓撲學Ⅱ|筆記整理（1）——拓撲基本概念及性質，連續

04-22

大家好！

這一系列筆記是在寒假拓撲學筆記的基礎上進行補充的一系列筆記，follow的書是北大尤承業編寫的《基礎拓撲學講義》。要說的一點是，國內的拓撲學教材和國外的差距非常大，也就是說，之前在寒假整理的內容，幾乎沒有覆蓋到我們上課的內容。所以如果讀者發現這一部分筆記的內容和原follow書的內容差別不大的話，大可不必質疑和奇怪，因為拓撲學本身難度很大（事實上，個人認為比實變難度大），而本身的學科體系也基本上成熟了，所以很難說再對原書的基本性質的證明提出更多全新而有意義的思想，只能在前人的基礎上加上一點自己的理解作為點綴罷了。

因為目前還不太清楚這門課的習題安排是什麼樣的（比如作業，助教都只打了一個「閱」，可能確實是太難改了吧……），所以暫時還無法保證提供足夠多的習題和例子，當然了，我也不能說這份筆記是「言簡意賅」的，因為原書已經省略了足夠多的證明細節了……（大霧）。

同時，這一部分的筆記趕的也很匆忙（畢竟我們還有三周就期中考試了……）。所以如果出現錯誤，也希望大家能夠指出並諒解，謝謝大家啦~

廢話不說了，我們開始我們的正題。本節內容覆蓋原書內容為P12-22

拓撲空間

拓撲的定義之前寒假的筆記已經涉及過了，但是因為寒假的內容過於零碎（這也是Munkres書的一大缺點），所以我們不再省略它們，而是原樣的再列在這裡。

Definition 1:
設 $X$ 是一個非空集合，定義 $2^X$ 是 $X$ 的冪集，即它所有的子集構成的集合族。定義 $2^X$ 的子集為 $X$ 的子集族。

我相信你沒有忘記族(collection)的概念是什麼。

Definition 2:
設 $X$ 非空，如果 $X$ 的一個子集族 $au$ 滿足
(1) $X,emptyset$ 包含在 $au$ 中。
(2) $au$ 中任意多成員的並在 $au$ 中。
(3) $au$ 中有限多成員的交在 $au$ 中。
則稱這個子集族為 $X$ 的一個拓撲。 $X$ 和 $au$ 一起稱為一個拓撲空間，記為 $(X, au)$ ，並且定義子集族中的成員為這個拓撲空間的開集。

一般來說，第三個條件我們驗證兩個開集的交還是開集就可以了。

有兩個最基本的拓撲就是離散拓撲和平凡拓撲。前者就是 $2^X$ ，後者是 ${X,emptyset}$ 。

下面是幾個有用的例子。

Example 1:
設 $X$ 為無窮集， $au_f={A^c mid A 為X的有限子集} cup {emptyset}$ ，則 $au_f$ 是一個拓撲，定義為 $X$ 上的余有限拓撲。
設 $X$ 為不可數集， $au_c={A^c mid A為X的可數集} cup {emptyset}$ ，這是余可數拓撲。
定義 $au_e={U mid U為若干開區間的並集}$ ，「若干」可以是無窮，有限或者零。這稱為 $mathbb{R}$ 上的歐式拓撲。記為 $E^1=(mathbb{R}, au_e)$ 。

這三個拓撲在之後我們舉反例的時候會用到。當然了，這三個拓撲也說明了，一個集合可以定義不同的拓撲，所以很多時候我們需要指明相關內容，以防產生歧義。

下面要說的是度量拓撲的定義。

Definition 3:
定義 $X$ 上的度量 $d$ 為一個映射 $d: X imes X o mathbb{R}$ ，滿足
(1) $d(x,x)=0,forall x in X,d(x,y)>0,x e y$
(2) $d(x,y)=d(y,x)$

(3) $d(x,z) le d(x,y)+d(y,z)$
若在 $X$ 上定義了一個度量，那麼稱它為度量空間，記為 $(X,d)$

比如說，n維歐式空間中， $d((x_1,cdots,x_n),(y_1,cdots,y_n))=sqrt{sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$ 。

為了定義度量拓撲，我們再給出一些補充的定義。

Definition 4:
$B(x_0,epsilon)={x in X mid d(x_0,x) < epsilon}$ ，定義為 $x_0$ 為心， $epsilon$ 為半徑的球形鄰域。

這就是我們早就熟知的開球。

Lemma 1:
$(X,d)$ 的任意兩個球形鄰域的交集是若干球形鄰域的閉集。

簡單說明一下。設 $U=B(x_1,epsilon_1) cap B(x_2,epsilon_2)$ 。那麼要證明「若干」，其實最常用的辦法就是，對於這個區域內的任何一個點，都可以找到一個開球覆蓋這個點，那麼這樣的話，把那些開球並起來就可以得到原來的那個區域了。

所以我們任取這個集合中的點 $x in U$ ，那麼 $epsilon_i-d(x,x_i)>0,i=1,2$ （因為 $epsilon_i$ 就是圓的半徑，而 $d(x,x_i)$ 就是點與圓心的距離，因為點在圓內，所以不等式成立）。這樣的話，只要取 $epsilon_x$ 為兩個距離的最小值，就構造出這樣的一個開球 $B(x,epsilon_x)$ 了。另外，不難驗證， $U=igcup_{x in U}B(x,epsilon_x)$ ，所以結論自然成立。

所以我們這裡自然定義度量拓撲為 $U$ 中若干個球形鄰域的閉集。能夠這麼定義的原因是，它滿足拓撲公理的第1，2條，而第三條根據第一二條和上面的引理，設每一個開集都是若干個球形鄰域的並集，就很容易證明出來。這裡略去證明細節。

幾個基本概念

首先就是閉集的概念。

Definition 5:
開集的補集是閉集。
Proposition 1:
拓撲空間的閉集滿足:
(1) $X,emptyset$ 為閉集。
(2)閉集的任意交和有限並為閉集。

這些都很基本，因此不再證明。

下面定義一下拓撲意義下的鄰域，內點和內部。

Definition 6:
設 $A$ 是拓撲空間 $X$ 的子集， $x in A$ 。若存在開集 $U$ 使得 $x in U subset A$ ，則稱 $x$ 為 $A$ 的一個內點。 $A$ 為 $x$ 的一個鄰域。定義它所有內點的集合為 $A$ 的內部。記為 $A^circ$ 。

要注意的是，拓撲空間中的開集，閉集，鄰域等概念比實分析中的要更加一般化。因此如果直接套用實分析中所學的相關定義往往會出現麻煩。

下面這一套性質的證明使用了大量的集合論中的證明思想。為了強調，我們拆分開來說。

Proposition 2-1:
$A subset B Rightarrow A^circ subset B^circ$

如果 $x$ 是 $A$ 的內點，那麼就存在一個開集 $U$ 使得 $x in U subset A$ 。那麼自然就有 $x in U subset B$ 。注意到的是我們的子集是相對全集 $X$ 說的，所以它們的開集是「通用的」，所以我們可以推出 $x in B^circ$ ，就證明了結論。

很多時候，拓撲會有不同，而更多時候為了防止歧義，我們會之前人為規定好相關拓撲。這個「人為規定」將在之後體現出來。

Proposition 2-2:
$A^circ$ 為包含在 $A$ 中所有開集的並集，因此是包含在 $A$ 中的最大開集。

如果我們考慮包含在 $A$ 中的所有開集構成的族 ${U_alpha},alpha in I$ ，那麼，對於任意的 $x in igcup_{alpha in I}U_alpha$ ，都會存在某一個 $eta$ 使得 $x in U_eta$ ，而根據定義， $U_eta subset A$ ，所以 $x in A^circ$ （因為確實找到了一個開集滿足所有內點的定義）。這就說明了一個方向 $igcup_{alpha in I}U_alpha subset A^circ$ 。反過來，如果 $x in A^circ$ ，那麼根據內點定義，存在一個開集 $U$ 使得 $x in U subset A$ ，那麼就有反方向的式子成立。就證明了結論 $igcup_{alpha in I}U_alpha = A^circ$ 。

Proposition 2-3:
$A ^circ =A Leftrightarrow A~ is~ open~ set$

從左邊推到右邊是很容易的。從右邊推左邊的時候，只需要注意到，「 $A^circ$ 是包含在 $A$ 的最大開集」就可以得到結論。

Proposition 2-4:
$(A cap B)^circ =A^circ cap B^circ$

首先注意到一個事實 $A cap B subset A$ ，那麼 $(A cap B)^circ subset A^circ$ 。那麼自然也可以得到 $(A cap B)^circ subset B^circ$ 。結合一下就有 $(A cap B)^circ subset A^circ cap B^circ$ 。反過來，再注意到一個事實 $(A cap B)supset A^circ cap B^circ$ （如果一個點又是 $A$ 又是 $B$ 的內點，那麼它一定是 $A,B$ 內的元素，這很顯然）。所以 $(A cap B)^circ supset (A^circ cap B^circ)^circ$ 。但是要注意到的是，內部都是開集，所以交依然是開集。所以右邊就是 $A^circ cap B^circ$ 。這就自然說明了結論成立。

Proposition 2-5:

$(A cup B)^circ supset A^circ cup B^circ$

首先要注意到 $A ^circ cup B^circ$ 是一個開集。接著要注意到的是 $A ^circ cup B^circ subset A cup B$ 。這樣的話，要注意到， $(A cup B)^circ$ 是含於 $A cup B$ 內的最大的開集。所以自然有 $(A cup B)^circ supset A^circ cup B^circ$ 成立（因為我們研究的集合 $A ^circ cup B^circ$ 可能不是最大的）

這五個基本性質至關重要。請大家務必有很深的印象。

下面是聚點和閉包的定義。

Definition 7:
設 $A$ 是拓撲空間 $X$ 的子集， $x in X$ ，若 $x$ 每個鄰域都含有 $A ackslash {x}$ 中的點，則稱 $x$ 為 $A$ 的聚點。定義它所有聚點的集合為 $A$ 的導集，記為 $A$ 。並記 $ar A=A cup A$ 為 $A$ 的閉包。

一個很顯然的推論是

Proposition 3:
$x in ar A Leftrightarrow$ $x$ 的任一鄰域與 $A$ 都有交點。

事實上，考慮 $x in A,A$ 的兩種情況即可。這個性質我們會經常用到。

那麼，閉包和內部的關係是什麼呢？

Proposition 4:
若 $A,B$ 互為余集，則 $ar A$ 與 $B^circ$ 互為余集。

我們證明一下這個結論。我們的想法是考慮 $ar A ^c$ ，那麼如果 $x in ar A^c$ ，那麼說明什麼？注意到， $x in ar A$ 說明它的任意一個鄰域與 $A$ 交集非空。那麼反過來就是，存在一個鄰域與 $A$ 交集非空。那麼，不難想像，這個鄰域一定是包含在 $A^c$ 內的。那麼這樣的話，注意到 $A^c = B$ ，並且我們找到了一個集合中的點，找到了符合條件的鄰域，根據內點的定義即可得到 $x in B^circ$ 。這就說明了 $ar A^c subset B^circ$ 。

那麼反過來呢？事實上，注意到上面的條件都是等價條件，就可以得到我們的結論。

直觀上理解就是說，如果兩個集合互補，那麼把其中一個集合的邊界全部加上，另一個集合的邊界全部去掉，得到的兩個新的集合仍然互補。

下面五個性質是與閉集相關的，但是證明方法與開集相似，所以我們只列舉部分，剩下的部分留作思考。

Proposition 4:
(1) $A subset B Rightarrow ar A subset ar B$
(2) $ar A$ 為所有的包含 $A$ 的閉集的交集，所以是包含 $A$ 的最小的閉集。
(3) $ar A =A Leftrightarrow A$ 是閉集
(4) $overline{A cup B}=ar A cup ar B$
(5) $overline{A cap B} subset ar A cap ar B$

比方說第一個，如果 $x in ar A$ ，那麼 $x$ 的所有鄰域都與 $A$ 交集非空，那麼自然它也與 $B$ 交集非空，注意這裡拓撲都是相同的，鄰域互通，所以可以推出 $x in ar B$ 。

還有第四個，利用 $A subset A cup B,(A cup B) subset ar A cup ar B$ 即可。

下面要說的是子空間的概念，從這個概念開始，拓撲的概念定義開始出現相對性，我們接著往下看。

Definition 8:
設 $A$ 是 $X$ 的一個非空子集，並規定 $A$ 的子集族 $au_A={U cap A mid U in au}$ ，那麼 $au_A$ 為 $A$ 上一個拓撲，定義為子空間拓撲，並且定義 $(A, au_A)$ 為 $(X, au)$ 的子空間。

一個有趣的現象是，如果我們的子集是迭代的，也就是說還存在 $B subset A subset X$ ，那麼無論是將 $B$ 上的子空間拓撲定義為 $X$ 的子空間，還是定義為 $A$ 上的子空間，都沒有差異。也就是說 $( au_A)_B= au_B$ ，證明我們略去，但是結論是很重要和基本的。

接下來的兩個命題是與子空間拓撲相關的。

Proposition 5:
$C subset A subset X$ ，則 $C$ 是 $A$ 的閉集等價於 $C$ 是 $A$ 與 $X$ 的一個閉集之交集。

我們要說明的是，從這裡開始，已經默認給子集加了子空間拓撲了（不然，哪來「 $A$ 的拓撲」這樣的說辭）。

如果 $C$ 是 $A$ 的閉集，那麼 $A ackslash C$ 就是 $A$ 的開集，那麼存在 $X$ 的開集 $U$ ，使得 $A ackslash C=U cap A$ （這是子空間拓撲的定義）。這樣的話，有 $C =U^c cap A$ ，那麼 $U^c$ 自然就是我們找的閉集。

那麼反過來呢？注意到上面的推論都是等價的即可。

Proposition 6:
$B subset A subset X$ ，那麼

(1)若 $B$ 為 $X$ 的開(閉)集，那麼 $B$ 為 $A$ 的開(閉)集。
(2)若 $A$ 為 $X$ 的開(閉)集， $B$ 為 $A$ 的開(閉)集，那麼 $B$ 也是 $X$ 的開(閉)集。

對於第一個結論，只要注意到 $B=B cap A$ 即可。對於第二個結論，如果 $B$ 是 $A$ 的開集，那麼存在開集 $U$ ，使得 $B=U cap A$ ，那麼，因為 $A,U$ 都是開集，那麼 $B$ 為 $X$ 的開集，即證明了結論。

另外，所有的「開」改成「閉」結論依然是成立的。

連續

連續和同胚的定義在拓撲學中也是比較抽象的概念。

Definition 9:
$f:X o Y$ 為一個映射， $x in X$ ，若對於 $Y$ 中 $f(x)$ 的任一鄰域 $V$ ， $f^{-1}(V)$ 也為 $x$ 的鄰域，則 $f$ 在 $x$ 處連續。

事實上，鄰域可以改為「開鄰域」（想想為什麼），而這句話還可以改寫為

對包含 $f(x)$ 的每一個開集 $V$ ，必存在包含 $x$ 的開集 $U$ ，使得 $f(U) subset V$ 。

說明這兩句話的等價性，只需要說明兩個方向。下面只說其中一個。如果 $f(U) subset V$ ，那麼可以推出 $U subset f^{-1}(V)$ 。那麼如果 $f(x) in V$ ， $x in U$ ，那麼 $x in U subset f^{-1}(V)$ ，也就是說，找到了一個開集 $U$ 和一個點 $x$ 滿足條件 $x in U subset f^{-1}(V)$ 。是不是有點眼熟呢？這就是鄰域的定義。也就是說， $f^{-1}(V)$ 確實是 $x$ 的鄰域。

至於另一個方向，理解為「開鄰域」後再推就可以了，很簡單的。

連續的定義往往比較難理解，一個原因是「鄰域」究竟是什麼，不同的課本給了不同的定義。所以我們要強調的是，在這裡，鄰域不一定是開集，只有「開鄰域」才是開集。這一方面與之前我們所學的歐式空間有本質的差異。所以很多時候，如果要使用「鄰域」的概念，往往要走它最原始的定義，就是上面證明中體現的那樣。

一個連續與映射限制相關聯的性質如下。

Proposition 7:
設 $f: X o Y$ 是一個映射， $A subset X$ ， $x in A$ ，令 $f_A=f|_A:A o Y$ 為 $f$ 在 $A$ 上的限制。則
(1)若 $f$ 在 $x$ 處連續，則 $f_A$ 也在 $x$ 處連續。
(2)若 $A$ 是 $x$ 的鄰域，則當 $f_A$ 在 $x$ 處連續時， $f$ 在 $x$ 處也連續。

（我覺得你知道什麼叫「限制」，如果不知道，看《拓撲學》筆記的第一節）

對於第一個結論，根據 $f$ 連續，設 $V$ 是 $f_A(x)=f(x)$ 的鄰域，那麼 $f^{-1}(V)$ 自然是 $x$ 在 $X$ 中的鄰域，那麼存在開集 $U$ 使得 $x in U subset f^{-1}(V)$ 。另一方面，注意到 $f_A^{-1}(V)=A cap f^{-1}(V) supset A cap U$ ，那麼這樣的話，注意到 $x in A cap U$ ， $A cap U$ 是開集，所以 $f_A^{-1}(V)$ 就是 $x$ 的鄰域，就證明了結論。

對於第二個結論，設 $V$ 是 $f(x)$ 的鄰域，那麼根據 $f_A$ 連續的定義，存在 $A$ 中的開集 $U_A$ ，使得 $x in U_A subset A cap f^{-1}(V)$ 。

現在如何推廣到之前那個大的空間中？別忘了，什麼叫「 $A$ 中的開集」？意思就是在上面定義了一個子空間拓撲。所以，我們可以設 $U_A =U cap A$ ， $U$ 是 $X$ 內的開集。

為了構造一個新的在大空間 $X$ 中的開集，我們還需要對 $A$ 做文章。所以構造 $U cap A^ circ$ （這是因為根據 $A$ 是 $X$ 的鄰域推出 $x in A ^circ$ ），它也是開集，並且有 $x in U cap A ^circ subset U_A subset A cap f^{-1}(V) subset f^{-1}(V)$ ，這就證明了原來的結論。

這一系列的定理描述了連續性的成立情況，它其實是一個「局部的」性質，所以如果對於一個映射 $f:X o Y$ 而言，對於任意的點 $x in X$ 都連續，那麼稱它是一個連續映射。而連續映射有一個非常重要的性質。

Proposition 8:
設 $f: X o Y$ ，那麼下麵條件互相等價。
(1) $f$ 為連續映射。
(2) $Y$ 的任一開集在 $f$ 下的原像為 $X$ 的開集。
(3) $Y$ 的任一閉集在 $f$ 的原像是 $X$ 的閉集。

為了證明等價性，我們需要說明三步。

$(1) Rightarrow (2)$ ：根據 $f$ 連續，就可以得到，對於任意的 $Y$ 的開集 $V$ ，令 $U=f^{-1}(V)$ ，那麼下面就要證 $U$ 為開集。

要證明集合是開集，就需要證明其中的每一個點都是集合的內點。注意到，對於任意的 $x in U$ ， $f(x) in V$ ，也就是說 $V$ 是 $f(x)$ 的鄰域，那麼結合 $f$ 的連續性，就可以知道 $U$ 也對應是鄰域。那麼 $x$ 就是內點。這樣就證明了結論。

$(2) Rightarrow (3)$ ：只需要注意到一件事是 $f^{-1}(F)=(f^{-1}(F^c))^c$ 。所以如果設 $F$ 是 $Y$ 的閉集，那麼 $f^{-1}(F^c)$ 根據(2)就可以推出來是開集，自然就可以說明 $f^{-1}(F)$ 是閉集了。

$(3) Rightarrow (1)$ ：考慮 $V$ 是 $f(x)$ 的鄰域，且 $U=f^{-1}(V)$ ，現在要說明 $U$ 是鄰域，就要說明其中的任意一個點 $x$ ，存在一個開集，使得這個開集含這個點，這個開集本身又在 $U$ 內。那麼如何尋找這個開集呢？

我相信你沒有忘記我們之前構造開集的一個思路就是考慮內部。所以我們考慮 $f^{-1}(V ^circ)$ ，是個不錯的主意，但是它真的是開集嗎？別忘了，我們有閉集的原像是閉集的條件。所以我們考慮取補，就是考慮等式 $f^{-1}(V^circ)=(f^{-1}((V^circ)^c))^c$ 。已經提醒的差不多了，不寫了可以嗎？

小結

這一節筆記簡單說了一些連續和基本的開集閉集的定義，要注意的是，拓撲學中的這些概念是更加一般的，因此很多方面的定義也和直覺有很大的差距。同時，因為拓撲學本身的抽象性和複雜性，所以必要的基礎是需要的，這也是為什麼我反覆思考，最終還是決定把拓撲學的內容再寫在筆記上的原因。

感謝大家一直以來的支持，為點贊收藏感謝讚賞的看客比心~~

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