廣義積分sinx/x的幾種解法

在數學物理方法一中，主要學習了一些複變函數、傅里葉變換以及拉普拉斯變換的知識。有趣的是， 這個積分在學習的過程中多次出現，每一次出現是的解法的思路差別都很大，可以說是涵蓋了數學物理方法一中的很大一部分內容。所以，我準備在這篇文章中對這個積分的解法總一個總結，也相當於是對數學物理方法一的一次回顧。

方法一：留數定理

將原來在實軸上的積分問題轉換為複平面上的積分問題，即：

然後再將實軸上的積分問題轉換為上半平面的圍道積分的問題,但是和一般利用留數定理解無窮積分的情況有一點不同是被積函數在實軸上有奇點，所以如果直接轉換成上半平面的積分，圍道上會有奇點。故我們採用一個小小的trick：

由Jodan引理可得：

由小圓弧引理可得：

又有留數定理可得

於是很容易便可以得到：

便可以得到原積分等於 。

以上同樣的方法還可以用來求實變積分中的瑕積分如： 也是很方便的。

方法二：利用 函數

函數可以說是物理專業學生的一個福音了，利用 函數，我們可以很方便地處理大部分和廣義函數有關的問題。在這個地方，我們也可以利用它來巧妙地求解這個積分。

首先我們構造一個函數：

顯然，當 時，函數的值就是我們要求的積分的值，然後對這個函數求導可得 ：

又因為 是個奇函數，所以

這樣就求出了原積分。事實上，將積分式中分母上的x換成多項式也可以使用類似的方法進行計算，只不過這時就需要求解微分方程了，比較麻煩，而我們已經有留數定理這樣強大的方法，也就不必多此一舉了。

另外，這個方法有一個很不嚴謹的地方，那就是對 進行求導是我們默認了積分和求導是可以交換的，但實際上在我所學範圍內，並沒有什麼定理保證了這個交換成立。好在 函數是如此的強大，使我們即使犯一點小小的錯誤也能得出正確的答案。

方法三：傅里葉變換

這個方法應該是最為常見的一個方法了，對方波函數

進行傅里葉變換可得，

再計算傅里葉逆變換可得

當 時，利用狄利克雷定理便得到答案了。

方法四：拉普拉斯變換

在這個解法中利用了拉普拉斯變換的性質：

補充一個評論區提到的做法:

這個做法和方法二比較類似，首先構造一個函數：

然後對這個函數求導可得：

兩次分部積分可以得到：

再積分一次得到：

又因為：

定出了常數 。

這樣就得到了

在這個做法中構造出來的積分是一致收斂的，保證了求導和積分交換次序這個操作的合法性，比方法二更加嚴格，並且僅需要高數範圍內的知識就能就行求解。

其實這個方法和拉普拉斯變換的思想完全一樣，只是將p取成了實數。