分析力學簡義（1）

04-22

寫這個的目的只要是為了給分析力學寫一個簡短的敘述，便於讀者抓住分析力學的主要內容和思想。

首先介紹幾本有關分析力學的書

朗道，《力學》，高等教育出版社。朗道這本書是世界級名著，無需多言。
梅鳳祥，《分析力學》，北京理工大學出版社。梅鳳祥是我國分析力學的一代大師，這套書寫的很清晰，尤其是對於基本概念進行不厭其煩地講解，提出很多人的不同見解。可以讓讀者更清晰地認識到現代業已完成的觀念。但是作為學習理論物理而言，這套書有一個缺陷就是，沒有與其他理論物理的領域相聯繫起來。
Florian Scheck ， From Newtons Laws to Deterministic Chaos.世界圖書出版社。這本書寫的很現代，很數學。

最小作用量原理
哈密頓正則方程
哈密頓-雅克比方程

1.最小作用量原理

一般而言，通常的做法是從最小作用量原理出發推導拉格朗日方程，這種做法在大多的教科書上均可看到。但是作為分析力學第一個重要的點，重複多少次都是有必要的。

定義作用量：

$S=int_{t_0}^{t_1}L(q_1,q_2,...,dot q_1,dot q_2,...,t)dt$

我們可以從定義式看出，作用量是廣義坐標，廣義速度和時間的函數。但是廣義坐標，廣義速度都是時間的函數，因此這裡的作用量 $S$ 是一個泛函。這裡的 $L$ 是一個未知的函數，不過要記住一點的是，這個函數是描述物體運動狀態的函數。當我們知道了一個質點的位置和速度，就可以確定這個質點所處的狀態。

最小作用量原理是說

$delta S=0$

泛函取極值。這裡的最小作用量原理更多的是一種數學上的技巧，如何解釋在物理上解釋最小作用量原理，需要深入到量子力學的路徑積分表述。大意是說，當對全空間的可能路徑進行積分時，由於在極值之外，干涉相消，因此對積分做貢獻的只有取極值那條路徑。下面就要把這個變分方程變成微分方程，由數學中的歐拉-拉格朗日定理，可以直接寫出

$frac{dL}{dq_i}-frac{d}{dt}frac{dL}{ddot q_i}=0,quad i=1,2,...$

在經典力學裡面，粒子的狀態往往是有限多個的，所以 $i$ 的取值往往是有限的。在拉格朗日力學中，粒子所處的空間可以認為是位形空間。這裡的 $L$ 函數是可以通過一些物理推理得到，精彩的敘述可以見朗道《力學》。其實這裡的 $L$ 函數就是拉格朗日函數，簡單地說是粒子的總動能減去勢能：

$L=sum_ifrac{1}{2}m_idot q_i^2-V_i$

例子1

應用一下拉格朗日方程：

求一個質量為 $m$ 電荷為 $e$ 的粒子在均勻電場和均勻磁場中的運動，設電場為 $vec E=E_0vec e_2$ ，磁場為 $vec B=B_0vec e_3$ .

首先為了解決這個問題，我們應該求出電磁場中運動粒子的拉格朗日函數。

對於洛倫茲力公式

$vec F=e(vec E+frac{1}{c}vec v imes vec B)$

由規範變換

$vec E=- ablaphi-frac{1}{c}frac{partial vec A}{partial t}$

$vec B= abla imesvec A$

帶入洛倫茲力公式，於是可以得到

$vec F=e(- abla phi-frac{1}{c}frac{partial vec A}{partial t}+frac{1}{c}( ablavec vcdotvec A-vec vcdot ablavec A))$

所以

$vec F=e(- abla phi-frac{1}{c}frac{dvec A}{dt}+frac{1}{c} ablavec vcdotvec A)$

這裡 $mvec v+frac{1}{c}vec A=vec p$ 為正則動量，由勢能的定義，就有

$V=e(phi-frac{1}{c}vec vcdotvec A)$

於是拉格朗日函數可以寫為

$L=frac{1}{2}mv^2-e(phi-frac{1}{c}vec vcdot vec A)$

在本題中，有

$phi=-E_0x_2$

$vec A=frac{1}{2}B_0(-x_2vec e_1+x_1vec e_2)$

所以

$L=frac{1}{2}m(dot x_1^2+dot x_2^2+dot x_3^2)+e(E_0x_2+frac{B_0}{2c}(x_1dot x_2-x_2dot x_1))$

於是帶入拉格讓日方程即可得運動方程。

2.哈密頓正則方程

首先定義廣義動量

$p_i=frac{partial L}{partial dot q_i}$

對於每一個廣義坐標都存在一個廣義動量，對拉格朗日函數進行勒讓德變換，我們定義一個新的函數，哈密頓函數

$H(q_1,q_2,...,p_1,p_2,...,t)=sum_ip_idot q_i-L$

在這裡我們需要把哈密頓函數中的所有的廣義速度變為廣義動量，對上式求導，有

$sum_ifrac{partial H}{partial q_i}dot q_i+frac{partial H}{partial p_i}dot p_i=sum_idot p_idot q_i+frac{partial V}{partial q_i}dot q_i=sum_idot p_idot q_i-frac{dp_i}{dt}dot q_i$

於是可得哈密頓正則方程：

$frac{partial H}{partial q_i}=-frac{dp_i}{dt}$

$frac{partial H}{partial p_i}=frac{dq_i}{dt}$

例子2

下面利用哈密頓正則方程來分析一個經典問題：行星在太陽的引力場中運動問題。

取極坐標，拉格朗日量為

$L=frac{1}{2}m(dot r^2+r^2dot heta^2)-frac{GmM}{r}$

求出廣義動量

$p_r=mdot r$

$p_{ heta}=mr^2dot heta$

於是哈密頓量為

$H(p_r,p_{ heta})=frac{1}{2}(frac{p_r^2}{m}+frac{p_{ heta}^2}{mr^2})+frac{GmM}{r}$

帶入到哈密頓正則方程里，就有

$frac{partial H}{partial p_r}=frac{p_r}{m}=dot r$ $frac{partial H}{partial p_{ heta}}=frac{p_ heta}{mr^2}=dot heta$

$frac{partial H}{partial r}=mrdot heta^2-frac{GmM}{r^2}=-F_r=-dot p_r=-frac{d}{dt}(mdot r)quadquad(1)$

$frac{partial H}{partial heta}=0=-dot p_{ heta}=-frac{d}{dt}(mr^2dot heta) quad quad (2)$

上述公式中，公式(2)表示引力作用下角動量守恆，所得結果可帶入公式(1)，就得到行星在引力場中的運動方程。

3.哈密頓-雅克比方程

已知一個粒子處在 $(q_1,t_1)$ 態，則它到達空間中的任一點 $(q,t)$ 的真實的確定軌道的作用量為 $S(q,t)$ 。有

$delta S=sum_ifrac{partial L}{partial dot q_i}delta q_i|_{t_1}^{t}-int_{t_1}^{t}(frac{partial L}{partial q_i}-frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot q_i})delta qdt$

由於是真實的軌道，上式第二項為0，所以

$delta S=sum_ip_idelta q_i$

由作用量的定義可得

$frac{dS}{dt}=L=frac{partial S}{partial t}+sum_ifrac{partial S}{partial q_i}dot q_i=frac{partial S}{partial t}+sum_ip_idot q_i$

所以我們就得到哈密頓-雅克比方程：

$frac{partial S}{partial t}+H(q_1,q_2,...,frac{partial S}{partial q_1},frac{partial S}{partial q_2}...,t)=0$

哈密頓函數里的正則動量要用

$frac{partial S}{partial q_i}=p_i$

來代替。