淺談採樣定理

一、採樣定理概述

　　採樣定理，又稱香農採樣定理，奈奎斯特採樣定理，只要採樣頻率大於或等於有效信號最高頻率的兩倍，採樣值就可以包含原始信號的所有信息，被採樣的信號就可以不失真地還原成原始信號。

二、採樣定理解釋

　　1、採樣：指的是理想採樣, 即直接記錄信號在某時間點的精確取值，所以採樣定理只涉及到了從連續信號到離散信號的理想採樣過程, 而未涉及到對測量值的量化過程。

　　2、採樣頻率：指單位時間內的採樣點數, 採樣是一種周期性的操作, 非周期性採樣不在採樣定理的範圍之內。

　　3、帶寬：是一個信號的一種頻域參數，常指信號所佔據的頻帶寬度，簡單的說是信號的能量集中的頻率範圍。至於多少百分比的信號能量集中的範圍視為帶寬，要根據不同的實際需要了。判斷的標準就是，在某個頻率範圍內的信號頻譜已經基本提供了我們需要的信息，那麼這個頻率範圍外的信號頻譜就變得可有可無。這個頻率範圍就是帶寬。

　　根據採樣定理，最低採樣頻率必須是信號頻率的兩倍。反過來說，如果給定了採樣頻率，那麼能夠正確顯示信號而不發生畸變的最大頻率叫做恩奎斯特頻率，它是採樣頻率的一半。如果信號中包含頻率高於奈奎斯特頻率的成分，信號將在直流和恩奎斯特頻率之間畸變。

三、時域採樣定理與頻域採樣定理

1、時域採樣定理

　　頻帶為F的連續信號f(t)可用一系列離散的採樣值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...來表示,只要這些採樣點的時間間隔Δt≤1/2F，便可根據各採樣值完全恢復原來的信號f(t)。 這是時域採樣定理的一種表述方式。

2、時域採樣定理的另一種表述方式是：當時間信號函數f(t)的最高頻率分量為fM時,f(t)的值可由一系列採樣間隔小於或等於1/2fM的採樣值來確定,即採樣點的重複頻率f≥2fM。

時域採樣定理是採樣誤差理論、隨機變數採樣理論和多變數採樣理論的基礎。

頻域採樣定理　

　　對於時間上受限制的連續信號f(t)（即當│t│>T時,f(t)=0,這裡T=T2-T1是信號的持續時間），若其頻譜為F（ω）,則可在頻域上用一系列離散的採樣值 來表示,只要這些採樣點的頻率間隔ω≦π / tm 。

四、混疊

　　如果不能滿足採樣定理，採樣後信號的頻率就會重疊，即高於採樣頻率一半的頻率成分將被重建成低於採樣頻率一半的信號。這種頻譜的重疊導致的失真稱為混疊，而重建出來的信號稱為原信號的混疊替身，因為這兩個信號有同樣的樣本值。

　　一個頻率正好是採樣頻率一半的弦波信號，通常會混疊成另一相同頻率的波弦信號，但它的相位和幅度改變了。以下兩種措施可避免混疊的發生：

　　1. 提高採樣頻率，使之達到最高信號頻率的兩倍以上；

　　2. 引入低通濾波器或提高低通濾波器的參數；該低通濾波器通常稱為抗混疊濾波器

　　抗混疊濾波器可限制信號的帶寬，使之滿足採樣定理的條件。從理論上來說，這是可行的，但是在實際情況中是不可能做到的。因為濾波器不可能完全濾除奈奎斯特頻率之上的信號，所以，採樣定理要求的帶寬之外總有一些「小的」能量。不過抗混疊濾波器可使這些能量足夠小，以至可忽略不計。

五、案例分析

　　AnyWay系列變頻功率分析儀的功率單元SP系列變頻功率感測器的電壓典型帶寬為100kHz，電流典型帶寬為30kHz；功率單元DT系列數字變送器的電壓、電流帶寬均為100kHz，兩種功率單元的採樣頻率均為250kHz，滿足採樣定理的要求。標稱帶寬範圍內的信號可以在功率分析儀中以實時波形及頻譜分析等方式正確的還原。

　　目前部分進口高精度功率分析儀，如NORMA5000寬頻帶功率分析儀、WT3000高精度功率分析儀等，其標稱的帶寬分別在10MHz和1MHz，而最高採樣率分別為341kHz和200kHz，其諧波分析等必須採用數字採樣技術的測量功能而言，真實帶寬應為170.5kHz和100kHz以下。此外，為了防止頻譜混疊，數字採樣之前還需要加上抗混疊濾波器，WT3000高精度功率分析儀的最高截至頻率的抗混疊濾波器的截至頻率為50kHz，因此，其數字測量部分的真實帶寬應小於50kHz。