經典力學——正交曲線坐標系

本文是自己學習經典力學做的筆記的一些整理，自娛自樂向。

1、曲線坐標

位置矢量：

坐標面：確保某一個坐標為常數，其上兩個坐標可變。即 等。

基矢：取基矢沿坐標線切線方向，正向為相應坐標增大方向。

單位基矢：模長歸一的基矢。數學定義如下：

其中 為度規係數或拉梅係數，起模長歸一作用：

線元矢量的定義為：

兩點間距離定義為：

若坐標系滿足正交歸一條件：

則 可進一步化簡為：

以柱坐標為例：

有位置矢量

各坐標偏導數有

位矢可重新表示為

線元矢量有

兩點間距離有

2、正交曲線坐標系中的速度與加速度

位置矢量

對於速度：

依定義，速度矢量

速度的平方

對於加速度：

依定義，加速度矢量

加速度的各個分量滿足

下面證明式 ：

先證引理1（可以把偏微分中上下的點同時約去或添加）：

再證引理2（對坐標的偏微分和對時間的微分可以互換順序）：

最後證明原命題：

對第一項逆用引理1，對第二項使用引理2：

即

證畢。

3、自然坐標

對於軌道已知的運動：

弧坐標：沿軌道自參考點 至質點位置的有向弧段的數值。

位矢

速度

定義切向單位矢

其模長的平方

速度可改寫為

由於切向單位矢模長為常數，即：

可見 ，於是定義 為曲率， 為曲率半徑。

可以看出上述矢量模長為 ，故可以定義主法向單位矢

從而定義出副法向單位矢

定義切向單位矢與主法向單位矢張成的平面為密切面；

定義切向單位矢與副法向單位矢張成的平面為從切面；

定義主副法向單位矢張成的平面為法面。

同時也可以定義切線、主法線、副法線。

此時速度可以表示為

加速度可以表示為

從中可以看出加速度始終位於密切面內，且 ，

最後舉一道例題：

例：一質點沿拋物線軌道 自 向 運動，任意時刻其切、法向加速度為一常數 ，求質點在 、 處速率之比。

解答：

加速度滿足：

其比值：

有幾何關係：

對 式分離變數並積分：

即：

於是

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