高能預警：從數學意義講講什麼是彌散圓？

前些天發布關於光圈的文章後引發了一些小幅度的討論，對於一些特別基礎但又特別生疏的概念而言，很多人都表示出「不明覺厲」的態度，但本著打破砂鍋問到底的精神，所以今天小胖打算從人眼的辨識力出發，討論成像系統中的彌散圓（Circle of Confusion），並且導出常見的彌散圓直徑=感測器對角線長/常數的定理，提示一下，本文不會特別短，也會用到一些三角幾何知識，但個人認為大多數高中理科生，或者還沒把三角幾何丟還給老師的朋友們都應該能看懂，如果沒有相關知識或許閱讀起來會有點困難。

首先，什麼是彌散圓，它主要有三種應用場景，第一判定是人眼識別物體的能力，因為人眼解析度也是有限度的，比如有一個圓，在觀看距離達到一定程度的時候我們就只能看到一個點，也就是一個直徑為d的圓在距離L範圍內可以被識別為圓，超過L就變成一個點，所以d就是觀看距離L時的最大彌散圓，這是用圓的直徑來表達。除此之外還能用視線夾角來表達，用圖來說明吧：

如圖所示，q就是上述最大彌散圓與平視視線的夾角，有：

以及：

當一個直徑超過夾角q的圓B出現時，它被視為一個圓（如上圖）。但如果將其往遠端移動，直到被包含在夾角內部時，就只能視為一個點。所以眼睛的辨識力既可以用在某個觀看距離下的最大彌散圓直徑表示，也可以用視線的夾角表示之，兩者只是用不同方式表達相同內容而已，之所以要引入q，所以因為傳統光學計算都會以這個夾角作為關鍵，有如下公式：

在理想條件下，q也就是最大彌散圓與視線夾角為1分，即1/60度，帶入公式可以得出d=L/3437.75，所以在理想狀態下，物長約為觀看距離L的1/3437.75時，我們就會把它當成一個點來看待。但這是之所以說是理想狀態是因為現實環境的亮度、物體色彩等多方面也會形成影響，這時候3437.75這個數值太大，人眼解析度會跟不上，所以往往數值比這個要小很多，在這裡用一個常數a來替代，也就是d=L/a。這個數值越小，相同觀看距離下的最大彌散圓就越大，反之亦然。

彌散圓的第二個應用點就是判定舒適視距，其實這是第一點的延伸，人眼的舒適視角是以眼球為頂點的50~60度視角錐，舒適觀看的前提就是物體前後移動來匹配相應視角錐的切面（如上圖橢圓），所以我們看舞台劇需要坐得比較遠，欣賞一張照片又會拿得比較近，目的就是讓觀測物能位於我們的視角錐當中，這也是為什麼電影院都有最佳觀影座位的原因。

還是以L為觀測距離，視角為W（50或60度），能填滿我們視角錐的圓直徑為：2L X tan(W/2)。W=50或60度時帶入此式可得0.93L或1.15L。以列印5寸照片為例，照片對角線長15.5cm，50或60度視角分別可得最佳觀賞距離是16.6cm或13.4cm，而在這個距離下計算最大彌散圓直徑最簡單的方法就是套入我們最開始講的夾角，公式非常簡單，就是q/W，我們之前講了q=1/60，而W=50或60，得出結論為1/3000或1/3600，再代入到5寸照片15.5cm對角線長當中，就得到5寸照片的最大彌散圓直徑為R=0.516mm或0.043mm。但演算法不唯一，也能通過前面提到的彌散圓直徑公式d=L/常數來進行推導，也可通過照片解析度來計算，這裡就不展開了。

如果照片拿得太近，即上圖橢圓向左移動，最大彌散圓直徑相對於照片對角線縮小，假設照片擁有無限高解析度就可以看到更多細節，但此時無法看清整張照片，而且現實中照片的解析度不可能是無限的。而如果照片拿得太遠，最大彌散圓直徑相對照片對角線放大，細節不那麼容易看清楚，所以能完全發揮最大彌散圓直徑意義的觀測距離就是物體剛好填滿視角錐，也就是舒適觀測距離。

在了解如何計算某個觀賞距離下照片端的最大彌散圓直徑R後，把它轉換成感測器的最大彌散圓r的演算法就就很容易了，而獲得感測器最大彌散圓的意義就是方便進行景深和焦深計算，這是彌散圓的第三個重要應用。此時把全畫幅CMOS的對角線g=43.2mm，放大24英寸顯示器，也就是對角線G=609.4mm上，設放大倍率為E，此時E=14.1倍，感測器端的最大彌散圓直徑CoC就是R/E，可得出以下推導：

另一種演算法是使用最大彌散圓夾角和視角的比例：

其實這裡的計算跟前面一樣，可以得出感測器端最大彌散圓直徑r依然是對角線長/3600。這樣折騰的原因是因為照片的最大彌散圓直接與觀賞距離掛鉤，但拍照片時我們並不知道大家會在多大顯示器上看，也不知道會列印成多大的照片，更不知道會在什麼距離觀看。但把照片端的最大彌散圓轉換到感測器端後，相同畫幅就有相同常數值，在計算景深和超焦距時就會簡單方便得多。1923年徠卡剛推出全畫幅膠片相機時只配了50mm標準鏡頭，沒有連動測距只能估焦，這種情況下知道景深就十分有用，因為即便是對焦距離不那麼精確，但只要主體在景深範圍內就還是清晰的，而最大彌散圓數值的確定就是為了計算景深，這就是國際標準採用感測器最大彌散圓的原因。

前面提到了，理想最大彌散圓夾角1/60度太過於理論，開角太小，所以實際計算中往往會使用1/30度和1/20度，以全畫幅為例，對應的最大彌散圓直徑在0.02mm（1/30度）到0.04mm（1/20度）之間，具體使用誰取決於鏡頭和感測器的解析度，解析度越高彌散圓直徑就越小，一般會使用g/1800（1/30度最大彌散圓夾角除以60度視角）和（1/30度最大彌散圓夾角除以50度視角）之間，換句話說，適用於計算的最大彌散圓直徑就是CMOS對角線除以一個常數。

有了感測器，也就是CMOS最大彌散圓直徑之後，就能導入到景深公式中進行計算了，物距u、焦距f、光圈n，CMOS最大彌散圓直徑r，景深前沿公式為：

景深後沿則為：

景深就是後沿減去前沿，所以有：

並且很容易得出一個結論：CMOS最大彌散圓直徑越大，換言之就是畫幅越大，景深就越大，當然，前提是實際焦距（也就是大家都用同一顆鏡頭）、物距、和光圈F值都保持一致。

而超焦距對焦距離的計算公式是：

合焦前沿距離就是在此基礎上除以2。

即便是已經過去近百年，數碼時代也不那麼需要用戶自己去計算景深了，但在顯示器上觀賞數碼照片，最大彌散圓直徑=CMOS對角線/常數的定義仍然有效，這個常數或許會隨著現代CMOS、演算法和顯示器技術的進步而越來越大，但畢竟它的根源是人眼的辨識能力，不會隨照片形成和存儲方式的變化而變化。作為原本用來研究景深和焦深的理論，它的應用前提是在最舒適的距離欣賞相應尺寸的照片，放大照片就意味著放棄了這個前提，最大彌散圓的意義在就基本不復存在了。