從數到形：把數學學到心裡

04-21

美麗有兩種，一是深刻又動人的方程，一是你泛著倦意淡淡的笑容 --------- 摘自《Heros In My Heart》

在學數學時，常常會遇到某些定理，明明看懂了每一步推導，內心卻感到深深的恐懼——哪個變態想出這樣峰迴路轉步步為營的證明！！！即使把證明全背下來，也感覺並沒有理解到本質。況且在不理解的情況下，背證明本身就是一件極其困難的事。

一般而言，這種情況說明我們對定理只掌握了「數」（數學推導），沒有掌握「形」（生動自然的直觀想法）。而要想學好數學，數與形缺一不可。數的作用在於嚴謹，少了數，難免出現紕漏，有時會鑄成大錯（例如得知正四面體、正六面體的存在，就從直覺上推斷正2n面體都存在）；形的作用在於直觀生動，少了形，則理解難以深入，難有開創之舉，更丟失了數學的終極趣味

學數學的所有努力就是讓理解更自然

一提起自己是學數學的，親朋好友就會說學數學是腦力活。實際上，內行人都知道學數學更是體力活。數學教材限於篇幅往往只給出各種數學理論的嚴格推導（數），而最好的教材會恰到好處地談談背後的直觀想法（形）。學數學的過程，就是把紙面上的嚴格推導（數），通過大量的思考，豐富為心中的直觀理解（形）的過程。簡言之，把數學學到心裡的過程，就是從數到形的過程，也就是讓自己對理論的理解更自然的過程。

數形結合地學習定理

數形結合地學習定理，就是把定理證明自然化的過程。A推出B可能並不自然，但卻是事實。如果找到了一組推理序列A1,A2,...,AN，使得A推A1，A1推A2，...，AN推B都是自然的，那麼就能自然地理解A推B了。對一個定理最自然的推理序列往往篇幅冗長（要知道循循善誘地講一個定理的證明是要消耗大量時間的），所以很多教材傾向於選擇一種藉助奇技淫巧而使證明相對簡短的證明方法，其代價是失去了自然性。

具體例子這裡就不提了，以後本專欄的一大半文章應該都是討論定理證明自然化直觀化的。

數形結合地學習演算法

最優化理論是應用價值最高的數學分支之一。其中有許多演算法，當表述為便於計算機無腦迭代的代數表述（程序）時，極為複雜，就算是演算法發明者本人，兩個月不看估計也得翻筆記才能寫全。如果只是死記硬背，那學習者必然會產生巨大的恐懼。例如求解線性規劃問題的兩種最基本的方法——單純性法和內點法，其演算法的代數描述就都相當複雜。

但是如果你從幾何直觀上理解，單純性法是沿可行域多面體的邊界不斷朝最優點逼近，而內點法是從可行域多面體的內部朝最優點不斷逼近，就能夠立刻庖丁解牛。並且有信心不看書也能把演算法寫個八九不離十，大面上不會錯。從幾何直觀上也更容易推測出兩種演算法的特性，例如即使是中學生，也能從幾何直觀上判斷出內點法可能具有最高的潛在收斂速度。

很多優化演算法都帶有強烈的幾何直觀含義，相信其創立者最初也是先有幾何直觀想法，後嚴格化表述為代數演算法的。因此數形結合地學習演算法，才能夠更自然地理解，並達到與創立者接近的理解深度。

因人而異

每一步推導可能有多種直觀理解，有的人感到這種自然，有的人感到那種更自然，這是依賴於其人生閱歷和學術經歷的，因此不同人選擇出的最自然的理解鏈條可能是不同的。所以最好的數學教材也不會事無巨細地寫出每一步推導背後的直觀想法，因為是因人而異的，沒有統一版本。

狹義vs廣義

狹義的數形結合：代數問題轉化為幾何問題求解，使解題過程更形象化，中學解題時常用
廣義的數形結合：並不限於代數vs幾何。只要是將數學理論變得更生動自然的理解方式，都算是數形結合。將枯燥的數學推導（數）轉化為生動的直觀理解（形），使每一步推導、每一個定義的提出都更加自然。

本專欄的定位

交流分享對重要的數學概念和數學理論的直觀理解