積分變換和 Riemann zeta 函數的函數方程

04-21

眾所周知，Riemann 著名的 zeta 函數滿足如下形式的函數方程（functional equation）:

$zetaleft(1-s ight) = 2^{1-s}pi^{-s} cosleft(frac{spi}{2} ight) Gammaleft(s ight) zetaleft(s ight)$ 。

這個著名的方程有很多證明，我們可以參考，例如 Widder [1] 和 Titchmarsh [2]。

然而，在這眾多的證明中，有一個我覺得非常有意思的故而值得在這裡花點時間寫一下的是 P.G. Rooney 1994 年發表的一個並不太簡單的證明（參見 [3]）。

為了說明 Rooney 的途徑，我們首先需要一些基本結論。它們中的一些看上去很符合數論或者特殊函數的風格，另一些則稍有不同。第一個結論說的是，對於 $0<Releft(s ight)<1$

$Gammaleft(s ight)zetaleft(s ight)=int_{0}^infty t^{s-1}left(frac{1}{e^t-1}-frac{1}{t} ight)mathrm{d}t$ 。

這條公式並沒有什麼特別的，在數論里它本就常常露臉。第二個結論是說，對於 $uinmathbb{R}$

$int_0^infty frac{sinleft(ut ight)}{e^{xt}-1}mathrm{d}t =frac{pi}{2x}cothleft(frac{pi u}{x} ight)-frac{1}{2u}$ 。

這些積分雖然困難，但都可以在古典的文獻中找到，並且符合人們對這類問題的預期。第三個結論似乎就畫風突變了，因此我們將。在敘述它之前，我們還需要做一些準備工作。對於 $mathbb{R}_+$ 上的復值 Lebesgue 可測函數，我們定義其範數為

$left|f ight|_{mu,p}:=left[int_{mathbb{R}_+}|x^mu fleft(x ight)|frac{mathrm{d}x}{x} ight]^{1/p}$ 。

接著，將所有滿足 $left|f ight|_{mu,p}<infty$ 的這類函數放在一起，記為空間 $mathcal{L}_{mu,p}$ 。

註：這種函數空間在積分變換理論中非常常見，所以若是出現在別處可能就不那麼引人注意了，哈 ~

引理：假設 $kin mathcal{L}_{mu,1}, finmathcal{L}_{mu,p}$ ，其中 $1leq p <infty.$ 那麼
$int_0^infty kleft(frac{x}{t} ight)fleft(t ight)frac{mathrm{d}t}{t}$

對於幾乎所有的 $x>0$ 存在，並且若將該積分的值記為 $left(Tf ight)left(x ight)$ ，則 $T$ 為 $mathcal{L}_{mu,p}$ 到其自身的有界線性變換。進一步地，若是 $1leq pleq 2$ ，則對於 $Releft(s ight)=mu$ ，
$left(mathfrak{M}~Tf ight)left(s ight)= left(mathfrak{M}~k ight)left(s ight)left(mathfrak{M}~f ight)left(s ight).$

這裡的話， $mathfrak{M}$ 代表通常的 Mellin 變換。

利用這些結論，Rooney 可以證明

定理：對於 $0<Releft(s ight)<1$ 有
$zetaleft(1-s ight) = 2^{1-s}pi^{-s} cosleft(frac{spi}{2} ight) Gammaleft(s ight) zetaleft(s ight)$

成立。

證明過程實際上就是如何選取適當的 $k$ 和 $f$ 然後通過引理的等式來得到結果。當然，這種做法往往不可複製，因為稍加改動，隨後出現的積分就令我們束手無策了。然而，在這裡，情況剛剛好 ~ 讓我們來看看 Rooney 是怎麼做的。

第一步：選擇

$kleft(t ight)=frac{1}{e^{t}-1}-frac{1}{t}$ 。

很容易驗證

$left|k ight|_{mu,1}=-Gammaleft(mu ight)zetaleft(mu ight)<infty~~left(0<mu<1 ight)Rightarrow kinmathcal{L}_{mu,1}$ ；
$left(mathfrak{M}~k ight)left(s ight)=Gammaleft(s ight) zetaleft(s ight) ~~ left(0<Releft(s ight)<1 ight)$

這樣一來，

$left(mathfrak{M}~Tf ight)left(s ight)=Gammaleft(s ight)zetaleft(s ight) left(mathfrak{M}~f ight)left(s ight)$ 。

第二步：確定 $left(mathfrak{M}~Tf ight)left(s ight)$ 和 $left(mathfrak{M}~f ight)left(s ight)$ 。

根據 $T$ 的定義，我們知道

$left(Tf ight)left(x ight)=int_0^infty left(frac{1}{e^{x/t}-1}-frac{t}{x} ight)fleft(t ight)frac{mathrm{d}t}{t}$

且它是 $mathcal{L}_{mu,p}$ 到自身的有界線性變換。

問題是什麼樣的 $f$ 使我們既能夠方便地計算它又可以恰好在一系列的步驟之後得到想要的形式呢？這裡，我們選

$fleft(x ight)=1-cosleft(frac{1}{t} ight)$ 。

那麼，可以（不太容易地）證明

$finmathcal{L}_{mu,1} ~~~~ left(0<mu<2 ight)$ ；
$left(mathfrak{M}f ight)left(s ight)=frac{1}{s}Gammaleft(1-s ight)cosleft(frac{pi s}{2} ight)~~~~ left(0<Releft(s ight)<2 ight)$ ；
$left(mathfrak{M}~Tf ight)left(s ight)=frac{pi^s 2^{s-1}}{s} Gammaleft(1-s ight)zetaleft(1-s ight) ~~~~ left(0<Releft(s ight)<1 ight)$ 。

將這些結果代入第一步最後一個等式，稍做整理，我們便可以得到想要的結果。

更廣泛的嘗試似乎不那麼順利。不過個人覺得，這篇短文依然提供了一種尋找等式的非常好的思路。也就是說，先建立一個足夠一般的定理，然後取定理的特殊情況，看看這張「大網」能夠網住什麼。

參考文獻：

[1] D.V. Widder, An Introduction to Transform Theory.

[2] E.C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta Function.

[3] P.G. Rooney, Another proof of the functional equation for the Riemann zeta function.

Another Proof of the Functional Equation for the Riemann Zeta Function?

www.sciencedirect.com