【多圖預警】從零開始破解《史上最賤的數學題》

04-21

前言

唔……說是從零開始，但是你沒有初中水平的話那我也無能為力……如果有一點高中知識更好。這篇文章是為了儘可能通俗易懂而詳盡地講解題圖中的問題，同時也是帶大家見識數論中一個重要分支的旅行。如果有任何不清晰的地方，請指出，我會儘快修改（學生黨較忙，見諒）。

文中會出現較多非標準名詞，這只是為了減輕部分人的恐懼感，後面我會貼出對應的標準數學術語。大家只要記住各個名字對應的意思就沒有問題啦～

開始之前，首先確認你有：

初中數學知識
初級腦補學
選擇性：紙、筆
必須：一顆勇於探索的心

好，咱們開始！

一、預處理

首先，把題目中的變數得換過來，總不能滿篇都是菠蘿蘋果香蕉……

$frac{a}{b+c}+frac{b}{a+c}+frac{c}{b+a}=4$

然後就是比較煩躁的去分母……建議大家跟著算一遍增強計算能力。

$a^3+b^3+c^3-3(ab^2+a^2b+ac^2+a^2c+bc^2+b^2c)-5abc=0$

式子變長了……不過大家不要有恐懼心理。無論多長，總是能寫完的嘛。

我們很容易發現，如果 $a_0,b_0,c_0$ 是方程的一個解，那麼 $ka_0,kb_0,kc_0$ 也是（k為正整數）。這一點在分式方程里體現為k被約分掉了；在整式方程里，可以發現k乘出來之後每一項都有一個 $k^3$ （因為每一項都是三次的），因此同樣可以約掉。這告訴我們，只要找出a,b,c的正有理數解，然後同乘一個k就成了整數。因此，我們可以將解寫成(a:b:c)的形式。這種性質稱為「神聖光輝」（至於為什麼，馬上就可以介紹）。

*細心的人會發現，去分母之後會產生增根：令分母為零的根，譬如(1,-1,0)。不過沒有關係，驗一下根就好啦！

以上都是初中知識，相信大家都能看懂（吧）。那麼接下來我就要施魔法了！

二、聖光空間

（沒有什麼奇奇怪怪的意思啦……）

作為普通人，我並不能在看到這個方程的一瞬間想像出它的樣子。因此，我用計算機把它畫了出來：

綠色是方程的圖像（只畫出了黃色立方體內部的部分）

中間的藍點就是(0,0,0)了。我畫出了圖像上的兩條線，分別是(1:1:-1)與(4:-1:11)。大家可以發現，(a:b:c)在空間中是一條過原點的直線。（還記得嗎？如果(a,b,c)是一個解，那麼(ka,kb,kc)也是一個解。k在變化時，這些解就形成了一條直線。可以類比初中正比例函數）。就像這樣！

每一條光線都經過太陽（假裝就是聖光）

好吧其實不怎麼像……不過現在我們要做一件神聖的事了：接住聖光！

用平面z=1截出的曲線

用平面x+y+z=3截出的曲線（沒有標出）

（原點被改成是紅色的）因為每一個解都是過原點的直線，所以用平面截出的每一個點連接原點，都可以「還原」出這樣的直線。因此，我們成功地將聖光「接住」了！

*細心的人又會發現，那些與平面平行的直線是「接」不住的。因此，我們把這些直線看作是在「無窮遠處」與平面相交。平面上每一個方向在無窮遠處看作都有一個「點」。這是研究聖光空間的一個重要概念。

接下來，我們就要開始第二步——腌制鹹魚！

三、鹹魚曲線

鹹魚曲線，就是長這樣的曲線：

$y^2=x^3+ax+b$ $(Delta=-16(4a^3+27b^2) e0)$ .

有時候把這種曲線平移，成為這樣會更方便一些（長鹹魚形式）：

$y^2=t^3+ct^2+dt.$

牛頓（應該是他）證明了一切的（非奇異，且存在至少一個點）聖光都可以被某種方式接住，使得生成的曲線是一條鹹魚曲線。然後Nagell又找到了一個系統的方法。我不會介紹這個方法，因為它太繁瑣了（儘管不需要初中以上的知識）。在Ian Connell的《橢圓曲線指南 (Elliptic Curve Handbook，見附錄)》裡面有介紹。我們需要選取一個有理點O（因為我們在研究有理數，記得嗎？），將其變化為無窮遠點。接下來，我們會頻繁地依賴於這個點。

在我參考的文獻中，選取的點是(1:-1:0)，

#TODO: 為了證明我真的看懂了參考文獻，我打算選取(+1:+1:-1)這個點再算一遍。

得出的曲線是 $y^2=x^3+109x^2+224x$ 。a b c和x y之間存在如下的轉換關係：

$x=frac{-28(a+b+2c)}{6a+6b-c}$

$y=frac{364(a-b)}{6a+6b-c}$ ；

反過來：

$a=frac{56-x+y}{56-14x}$

$b=frac{56-x-y}{56-14x}$

$c=frac{-28-6x}{28-7x}$ 。

看起來很可怕，但是請仔細再看一眼：這之中不含任何根號、三角/指數函數、無理數係數，以及其他任何奇怪的東西，只有加、減、乘、除四種運算。這意味著有理數(a:b:c)將與有理數(x,y)相對應，也就是說，我們只需研究有理數對(x,y)，最後轉換回去就可以了。現在這個曲線長這樣：

y^2 = x^3 + 109x^2 + 224x

怎麼樣！像鹹魚吧！（不像）

接下來，我們由枚舉法（就是枚舉法），發現左邊的「蛋」上有一個整點P(-100,260)。

很遺憾，它對應(a:b:c) = (2/7, -1/14, 11/14) = (4,-1,11)不是符合要求的點（正整數）。

不過我們可以祭出鹹魚曲線獨有的：【秘技·弦切法】，得到更多的點！

在鹹魚曲線上，可以定義一種類似加法的運算，兩個點相「加」，可以得到另外一個點。至於到底他有多像加法，我在這裡就不介紹了，大家可以參看下面的鏈接。具體的方法就是，過兩點作直線，交曲線於第三點；那麼這三個點之「和」為0。一個點的相反數就是它關於x軸的對稱。下圖是更加詳細的分類討論（包括出現切點的問題）：

幾種情況

用因式分解、韋達定理（三次方程的情況）的知識，就可以推出其公式。這裡就不寫了（不，我沒有偷懶，我沒有）。驗證 當P,Q為有理點時，P+Q仍有理 留與讀者作為練習。

於是，在P點做一條切線，交曲線於另外一點-2P（P+P+(-2P) = 0）。再關於x軸反射得到2P：

然而，它對應的(a:b:c)=(9499,-8784,5165)仍不符合條件。不過不用擔心，我們再來算3P, 4P, 5P ...... 終於到了9P：

$9P(frac{-66202368404229585264842409883878874707453676645038225}{13514400292716288512070907945002943352692578000406921} , frac{ 58800835157308083307376751727347181330085672850296730351871748713307988700611210}{1571068668597978434556364707291896268838086945430031322196754390420280407346469})$

這就不是人算的了（也許用兩三( $imes 10^{{10}^{10}}$ )節你不想聽的課，可以算出來）。但是計算機可以在幾秒鐘之內搞定。將其轉換為(a:b:c)的形式——

$cases{a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999 ewline b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579 ewline c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036}$ .

至此，我們得到了這個問題的答案。把它放到計算機中（或者自己算），就可以發現……

$frac{a}{b+c}+frac{b}{a+c}+frac{c}{b+a}=4$ .

（完）

參考文獻（懶得寫完整了，就放鏈接吧）& 延伸閱讀：

An unusual cubic representation problem

知乎上的原文章（抱歉我沒上Quora去看）

三次曲線_維基百科（英文）

鹹魚曲線_維基百科（英文）

鹹魚腌制_維基百科（英文）

Elliptic Curve Handbook - Ian Connell

術語對照表

神聖光輝--homogeneity

聖光空間-- $mathbb{RP}^2$

聖光--RP^2上的三次曲線

鹹魚曲線--橢圓曲線（我的天哪我怎麼想出來這個名字的）

鹹魚腌制--射影變換

長鹹魚形式--長Weierstrass形式（應該沒記錯）