研究數學的經驗(丘成桐)

1997 年6 月9 日丘成桐在新竹交通大學應用數學系的演講。

今天林松山叫我講關於應用數學的問題，我想一想，講做學問的經驗也好。因為我來台灣也差不多五年了，我想很多研究人員做研究的方法並不見得是最好，尤其是我覺得很多年輕人員為什麼在國外能夠念的好？這是很值得思考的。 所以，我想講講我自己的經驗，或是我對數學的看法，讓大家參考一下。

我想第一講是最重要的當然是要有熱忱，最主要的就是求真的精神，是始終要培養的。我們做學問是為了求真，無論是對自然界的了解或是從數學方面來講，我們有不同的觀念，可是真跟美就數學來講是最重要的。追求真跟美的熱忱很重要，因為我們整個做學問的路上要碰到很多不同的困難，假如我們沒有熱忱的話，就沒有辦法繼續下去。所以追求學問的最崇高目標，無過於真跟美，追求的目標無誤，熱情才不會熄減。我們非想辦法培養自己對追求學問的熱忱不可。

幾天我在去看我父親的遺作，其中有屈原：路漫漫其修遠兮，余將上下而求索。做學問的路很長很遠，我們一定要看得很遠，因此我們要上下去求索，要想盡辦法去求真。怎麼去找真跟美，能夠始終不斷的堅持下去，這是成功的一個很重要因素，如果沒有熱忱的話，就永遠達不到做大學問的地步。

我們再舉一個國外的例子，在一個有組織的系統里，我們的競爭很厲害，尤其在物理方面或其它實驗科學方面的研究，真是分秒必爭；有一個題目剛好出來的時候，大家曉得其他人也會做這個問題，很多post doctor 或者是faculty 聚在一起往往工作到深夜，甚至整個晚上不睡覺。這上面當然有一個競爭性在裡面，就是希望達到一個目標，比人家快了一點；可是另一方面也是因為求真的熱忱很大，刺激著我們使我們不肯放鬆。否則的話，很多有tenure 的faculty，沒有必要這樣拚命，可是很多faculty 還是願意這樣子作，我想熱忱很重要。我們要曉得，作研究的路是很遠的，我們要在中間低潮的時候還能夠堅持做下去。很多作研究的人，他往往覺得若不在中心的地方，他不敢去做。有些人去到過最好的地方，他也不敢去碰難的題目。這有很多不同的原因，等一下我們再慢慢談，可是一個最要緊的我想是基本的功夫要做好。基本功夫沒做好往往會出現上述問題。中學的時候，大學的時候或者在研究院作研究生的時候，很多基本功夫都要培養，很多學生在年輕的時候不將基本功夫做好，以後做研究就很吃力。

交通大學著重應用數學，可是我們曉得應用數學主要的工具是從純數學來的；很多的學生人認為既然是應用數學就不用學純數學或者是應用物理就不必學基本的物理，這是很大的錯誤。很多基本的功夫非在作學生的時候學不可，為什麼呢？我們要做習題，並且要大量的去做，這是學習基本功夫的必要過程。我想很多現在畢了業拿了博士學位的人看一本書的時候不再去做習題。遇到一些比較複雜計算的時候往往不願意去算，可是很多基本的想法就是要從計算裡面領會得來的。我們所做的命題，最後的時候可能留下很簡單很漂亮的結果，可是中間往往要花大量的計算我們才曉得這結果是怎麼得到的。做好的研究不是一朝一夕得來的，往往做了一百次，九十九次是錯的，最後一次是成功的。但成功的時候，我只跟你講成功的結果，不會跟你講九十九次失敗的經驗。錯誤的經驗往往是很好笑的，因為經常犯很明顯的錯誤，要在做完的時候才知道。可是當講給人家聽的時候很少會跟人家講錯誤的那部分，其實做錯誤的結果讓你眼睛明亮，它幫你忙，讓你向前走。其實你能做錯的結果，已經是很不錯的了，因為很多初學的人連怎麼進去做這個題目都不能夠做到。譬如來講，你給我一個化學上的問題，我從什麼地方開始做我都不曉得，因為我沒有這基本的功夫，我根本不曉得要從什麼地方開始。

一個好的數學家至少要能夠掌握兩門以上很基本的功夫。基本功夫不是一朝一夕學來的。譬如講，有代數的方法、有分析的方法、有幾何的方法等種種不同的方法，我們在中學的時候就開始學。有些人喜歡幾何，覺得代數沒有什麼意思不想學，或者是學代數的人不想學幾何，各種想法都有，可是最後我們發現真的做研究的時候全部都要用到。有人說我只做一個特殊的題目就永遠只去做這方面的題目，結果連這方面的問題也不見得做得好。因為數學的發展是不停地在改變，不斷地在改變。自然界能夠提供給我們的問題，不會因為你是幾何學家就繼續不斷的提供幾何方面的問題，而往往是與幾何結合在一起的問題。到了題目來的時候，要用到其它工具，我沒辦法去了解，我就比其他人吃虧了。

例如，很重要的一門"群表示理論"，一般來講很多地方不教這門課，可是在應用科學或者理論科學要用到，"群表示理論"在物理也要用到。有些好的數學家可以很技巧地運用"群表示理論"分析很多問題。我們可能沒有這些辦法，這就是因為我們基本功夫沒有做好的緣故。我想"群表示理論"大概是進了研究院或者大學後半期的時候學的。中國數學家在這方面的訓練不夠，因此不如國外學者。可見有些基本學科一定要學好，同時要很早就學。我們學數學的不單是要學數學上的基本功夫，在物理上的基本功夫也要學，這是在大學時就要學的。力學、電磁學我們都要有一定的了解，因為物理跟數學這幾十年來的發展越來越接近，很多問題是從物理上提供的。我們假如對這些基本的觀念完全不認得的話，我們看到題目就比不上其他懂得這方面的數學家，能夠很快的融會貫通。到了這個年代，很多的數學的問題往往是從其他的學問如理論物理、應用數學或其它的科學裡來的，他們甚至提供intuition 和方法。我們想了很久的一些問題，往往因此得到了解決，假使我們從來都不接觸其他科學的話，就完全落伍了。

舉個例子來講，代數幾何學家這二十年來已有長遠的發展。可是到了這幾年來用古典的方法或者纖維叢的方法，都沒有辦法解決的問題，結果從理論物理幫助我們看到以前看不到的可能。由於本身知識的局限，很多代數幾何學家遇到這個困難的時候沒有辦法接受這些專家的看法，遇到理論物理就不敢去碰它。可是物理提供了，解決了我們基本問題的方向，代數幾何學又覺得很難為情， 因為他們沒有辦法去了解，所以這是一個很困擾的問題。假使你不肯學物理學上的基本功夫，你就很難接受這個新的挑戰。

記得我看過一本書, 序言里講作者很感謝代數學家Albert，他為什麼感激他呢？他說Albert 教我代數，使得我坐下來的時候，看代數問題不會恐慌，使我能夠坐下來好好地對待代數上的問題。就是講我們基本功夫能不能做到如此，我坐下來，看到幾何問題或應用數學的問題，可不可以坐下來就想個辦法來對付它，我想這是很重要的。我們往往看到問題，坐下來的時候，恐慌的不曉得怎麼辦，因此就算了，我想大家都有這個經驗。

你做基本功夫一定要做到你看一個題目，明明是unknown、unsolved 的問題，你還是可以坐下來，然後花工夫去解決它。即使你不能夠解決它，可是你至少曉得怎樣去想辦法，同時不會恐慌、放棄，我想這是最重要的。往往我們因為基本功夫沒做好，當一個深的題目或看法出現的時候，我們就拒絕去接受，認為這些題目不重要，這是去解釋自己為什麼不能夠去做某一個問題的時候最自然的方法。

訓練基本功夫要在研究生、大學生或中學生的時候。基本功夫怎樣學好呢？有時看一本書完了就放在一邊，看了兩、三本書後就以為懂了，其實單看書是不夠的，最重要的是做習題，因為只有在做習題的工夫裡面你才能曉得什麼命題你不懂，也理解到古人遇到的困難在那裡。習題不單在課本里找，在上課和聽seminar 時也可以找。

我們很多學生上課的時候不願意去寫筆記，不作筆記的話根本不可能去念任何學科。尤其是有時候演講的人講的題目是根本不在書本里的，或者是還沒有發表的。我常覺得很奇怪,為什麼學生不去作筆記，他認為他懂了，其實明明不懂。因為可能連講課的人自己都還沒搞懂，可是聽講的人不願意去作筆記，也不會去跟演講的人談，也不會去跟其他老師討論。往往你花了一個鐘頭在那邊聽，聽完了以後就全部忘掉了。因為你沒有一個寫下的筆記可以溫習，怎麼可能不忘掉呢？

另一個訓練基本功夫就是要找出自己最不行的地方在哪裡。我們來看"群表示理論"的時候，我們有一大套理論。單看理論是不夠的，在應用時往往要知道群表示怎麼分解的，你不能夠將它寫下來則理論對你一點好處都沒有。又例如一個方程式的估計問題，你有沒有辦法瞭解其中的方法，就全靠你實際計算經驗，不光念一兩本書就足夠的。舉例來說，我的兒子最近剛學因式分解這個問題，老師教他一大堆怎麼分解整數方程的問題。他學了。也學得很好，也學了怎麼找根的方法。可是有一次考試是他不知道怎麼因式分解？我跟他說，你明明曉得怎麼找根，為什麼不能夠因式分解？主要是他學的時候沒想到找根跟因式分解是同一件事情。問題就在於訓練基本功夫的時候，要去想清楚數學命題間的關係，了解清楚為什麼要解這些命題。

我們去看很多人寫以前人的事，寫了很多很漂亮的介紹和批評。可是你自己沒有經歷過這一條路的話，你事實上很難了解困難在什麼地方，為什麼人家會這樣子想。要得到這個經驗，不單要做習題，還要做比較困難的習題。做困難的習題有什麼好處呢？困難的習題往往是幾個比較基本的問題的組合。我自己看書的時候，常常會一本書一下子就看完了，覺得很高興，因為看完了；可是重新再看，反而什麼都不懂。我想大家都有這個經驗，主要的原因是什麼呢？我們沒有學好這學科，做比較困難的題目的時候，你就會發覺會遇到困難。尤其是我們做一些題目的時候，往往就覺得似是而非，在腦子裡面想，以為已經懂了、可以解決了、就一廂情願的很快的解決它，很快的看完那一本書，事實上這是欺騙自己，也不是訓練基本功夫的方法。

一個好的題目，你應當坐下來用筆寫下來，一步一步地想，結果你會發現很多基本的步驟你根本沒有弄清楚。當你弄清楚的時候，你去看你以前需要的定理在那裡、怎麼證的、我想你會慢慢了解整個學問的精義在哪裡。所以說，動筆去做題目是很重要的，我們做大學生的時候還願意做這個事，往往做研究生的時候，就以為了不起，畢業以後更不用講，不會動手去寫。一個題目在那裡，我們很了不起地以為自己懂了，有些是很明顯，但有些是似是而非，好像差不多了，事實上不是，裡面有很多巧妙在裡面。我們一定要動手去做，當你在一門課裡面，基本功夫搞得很清楚以後，你就發現書裡面很多是錯的。 在發現書本里的錯誤時，你的基本功夫也不錯了。

我們這個時代的學生不看課外書，連本身的教科書也不看，很使人失望。做研究大家曉得，自己要去找自己的思路。單單上課聽聽，聽完以後不看書，做幾個習題就算了，怎麼用都做不好。因為你沒有想自己的思路要怎樣子走。我做大學生剛開始第一年半的時候，因為剛開始將數學嚴格化，我覺得很高興。因為從整個logic 看去，可以一點一點地推導，從前有些幾何或分析上的問題，我覺得可以慢慢將它連起來，我覺得很高興。我講這個事情是什麼原因呢？我覺得現在很多大學生或研究生對於宏觀的數學看法並不熱情。就想課本上有題目拿來，能夠做完它，你就覺得很高興。

你沒有整體地去想整個數學、或者整個幾何、或者整個代數，我們須要研究的是什麼事情？我們須要追求的是什麼對象？我想去考慮這些事情其實並不會花你太多時間，可是你要有一個整體性的想法。整體性的想法是非要有基本功夫不可，就算很瑣碎的事情你都要曉得以後，才能對整個科學有一個基本的看法、一個大範圍的看法。

現在談談我個人的經驗，我記得我念中學的時候我學了平面幾何。大家都曉得平面幾何很漂亮，我覺得很有意思。書本上的平面幾何的問題大概我都懂得怎麼做。可是我覺得還是不太夠，所以我將很多基本的問題連在一起，之後開始慢慢想。去發現一些書本沒有的問題，去想書本的方法能夠有什麼用處，是不是大部分平面幾何上的問題都可以解決？我想找一些命題是這些方法沒有辦法解決的。我記得我初中的時候想過一個問題，我發覺沒有辦法去解決它。花了很多工夫去想，看了很多課外的書來幫忙，最後很高興地找到一個本書講那個問題不可能用圓規和直尺來解決，可以用代數的方法來證明。因為經過很多不同的想法，有半年的工夫，完全不曉得圓規和直尺解決不了這個問題，因此看到人家將這個問題解釋清楚，就覺得很高興；那時候是中學生，沒有了解Galois 理論，所以還是不太搞清楚是怎麼證明的。可是我至少曉得有問題是不能用圓規和直尺解決的。也因為經過很長的思考，所以我開始對這類問題的了解清楚得多。也開始欣賞到做數學的精義。

我想我們做一個習題或研究，我們最好花些工夫去想想著整個問題的來龍去脈，也多看一些參考書，這對你的幫助很大。因為數學無非是很多方法放在一起解決很多不同的問題。這是一個工具，我們了解一下這整個方法的局限，對基本功夫有很大的幫忙。基本功夫是一個工具，不是一個終點，是一個起步。基本功夫沒搞清楚的話，沒有辦法去講某個學問好，某個學問不好。

記得從前在香港念大學的時候，當時的環境比現在差得很多，圖書館根本沒有什麼書，也沒有什麼很好的導師，但是還是看了很多課外書，也看了很多文章。但現在看來浪費了很多精力，這是眼界太淺，坐井觀天，不知數學的發展與方向的緣故。以後我到Berkeley，也看了很多文章，得益良多。一方面當地圖書館收藏豐富，一方面良師益友的交往，心中開始建立對數學的看法。

我中學的時候，老師跟我們講：好的書要看，不好的書也要看。數學裡面不好的書我也看，你可能奇怪為什麼不好的書我也看；我是覺得這樣子，你一定要曉得什麼是好的書，什麼是不好的書，所以你看文章的時候，一定要搞清楚這個作者寫文章並不見得是了不起的。有些作者，你曉得他的著作是了不起的可以多看，可是從不好的文章裡面，你也可以看到許多現代的發展。因為有時候，從簡單的寫法裡面，你反而看得比較容易一點，可是你一定要曉得他裡面所講的命題並不見得是有意思的，你一定要經過你自己大腦去搞清楚。可是他裡面的組織往往是有的，普通水平的文章裡面往往會引出有名的文章，也會介紹出有名的文章裡面講些什麼事情，同時往往會寫的比較容易看一點。因為它的水平比較低，它可以學一些大數學家的文章，你看了以後，很快就曉得怎麼進出不同的地方，可以和好的文章比較。這是我自己的經驗，你不一定要這樣子做。

我的建議是大部份的時間看大數學家的作品，小部份時間瀏覽一般作品，並做比較。我當研究生的時候，有時候從早到晚都在圖書館裡面看期刊、看書。當時因為在Berkeley 沒有研究室，研究生沒有研究室很好，整天在圖書館裡面坐。幾乎主要期刊的文章我都看過，看過並不表示仔細的看，但至少有些主要的定理都看過。當時大部分都看不懂。看不懂沒有什麼關係。往往你要花很多工夫才能夠在細節的部份搞清楚一篇好的文章。因為你第一眼看得懂的文章並不見得太好。並不是講一定不好，簡單的文章有時也有創見，多看文章讓你曉得當時的人對於哪一個方向的問題有興趣，對你有很大的幫助。有很多學生跑來問我問題，我跟他講某某年有誰做過、做到什麼階段，他們聽了很驚訝，為什麼我曉得？沒有誰講給我聽，是我自己在文章上看到。這很重要，因為你做研究的時候，你要曉得什麼人做過、解過哪些問題，對你的幫助很大。因為往往做研究的時候，你須要曉得只是誰做過、在什麼地方可以找到這個方面的文獻，你以為有了這個幫助以後，你可以跑回去找這個文件。甚至你只要曉得那一年代誰碰過這個問題，對你也有很大的好處。有很多名家的文章往往比人家做快一步，就是因為他曉得誰做過這件事情，他可以去找這方面的文章，或者去找某個數學家幫忙，否則的話，做數學的有十幾萬人，你根本不曉得誰做過這個方面的問題，誰沒有做過。所以在這方面多學一些人家做過的問題，無論出名的文章也好，差的文章也好，都看一看。我當然是建議你多看一些出名的文章，因為差的文章等於是消遣性，看武俠小說一樣，看完就放在一邊。

你有追求的熱情以後，慢慢地再將不同的看法放在一起。到了這個第一步以後，我覺得你可以開始找自己的題目。因為你開始曉得整個數學界主要在看什麼問題。一個好的數學家怎麼找自己的問題是很重要的。當然有不同的找法，有些人要發展一套理論，有些人要解決難題，理論的目標最後還是要解決問題的，所以解決重要問題是發展一般理論中一個很重要的一環。舉例來說，像Poincare Conjecture，它是三維拓撲中最主要的猜想，我們曉得前人花了很多心血去解決它，到了現在有很多不同的嘗試方法，各自成一個氣候。這個命題已經變成一門學科而不再是一個獨立的問題。這是三維空間的結構問題，需要徹底解決此猜想才算圓滿。另一方面有些人為什麼對PoincareConjecture 有興趣，對其他問題興趣不大，那是因為它是公認的難題。我想選題方面每個人有不同的看法。我有很多朋友是很出名的數學家，他們只想解決出名的問題，我認為這是錯誤的選題方法。在數學上，我們應該有整個的有系統的想法，想整個數學目的在那裡，應當解決什麼樣的問題。

你們可能都念過王國維講的做大學問的三個階段，第一階段是晏殊說的 "昨夜西風凋碧樹，獨上西樓，望盡天涯路。" 這是王國維講做大學問的第一個階段，要解釋這一段話，我要再說明基本功夫的重要性。如果基本功夫沒有做好，你根本望不遠。你叫中學生去望盡天涯路，根本是不可能的事，最後講一些空談的話。對數學或者科學上的歷史不了解的話，你根本沒有資格去談以後的事。不是叫你去全部了解，至少有一定的了解。

現在很多學生，尤其是研究生，我覺得比較頭痛，教他做一個小題目， 做了以後，一輩子不願意放，不停的寫小文章。寫了文章當然可以發表，對某些年輕人來說講，他認為這樣子很好，不想重要的問題，今天能夠寫一篇小文章，明天能夠寫一篇小文章，就可以升級，假如不寫出來的話，生活上會受到困撓。這都是對的，可是你真的要做一個好的題目，其實也不見得那麼難。一些研究生的論文是歷史上有名的著作。為什麼他們能夠花三、四年的工夫，做出這麼出色的工作？他們是從不懂到懂，然後還要再向前進。

表示真的要做好的題目，並不是像你想像要花很多很多的時間才能夠做到，問題是你的決心是怎麼樣。昨夜西風凋碧樹，就是說你要望很遠的話，要將前面小的樹去掉，才能看的遠。假如我們眼界裡面看的都是小題目，永遠都看不遠。我們要懂得怎麼放棄些渣滓，才能夠做一些好的題目，我想這是一個很重要的事請。你不願意放棄你明明曉得不會有前途的問題，就永遠做不到好的問題。這是一個困難的選擇，因為你覺得畢業、升級的問題，而不願放棄你明明曉得不會有前途的問題，那你永遠不會成就一個大學問的。

我記得我剛學幾何學的時候，當時流行的度量幾何，所有工具都是三角比較定理來的，我始終覺得對幾何的刻畫不夠深刻，後來我和我的朋友和學生開始一系列用到微分方程做工具的幾何研究，我也很慶幸當時願意放棄一些小的成果，走一條自己的路。我們選題的時候，可以跟出名的數學家、跟導師或者是從書上去看，可是最後的思考一定要有自己的想法才能做成大學問。因為你自己沒有你自己的想法，你始終跟著人家走，是沒有辦法做好學問的。可是你可能沒有資格做這一件事情，因為你對於這一門學問還不懂。我一開始講了一大堆，就是因為我希望你們去想一想基本功夫要做好，要你對這一門學問里的不同命題要曉得。就像你去買貨，你要曉得百貨公司裡面有可能出現什麼東西，你才去挑。

王國維談學問的第二階段是柳永的詩：「衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。」尋找真理的熱情就如年輕的戀人對自己的對象的追慕，那是很重要的事。在追求一個好的命題的時候，中間要花很多工夫，有時候甚至是很痛苦的。可是我們只曉得，最後的成果是值得的，我們就會花很多工夫去做，就像愛情一樣。很多年輕人找對象時，朝思暮想，當做學問卻沒有這種態度。假如你對做學問沒有熱情、沒有持久力的話，你就不可能做成大學問。其實屈原說"亦余心之所善兮，雖九死其尤未悔。"比柳永更來得徹底。

接著下來大家都曉得王國維的第三階段是："夢裡尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。"當然這是辛棄疾的詩，不是我講的，可是基本上我們都有這種感覺。你真的做過一個好的文章的時候，就有這種感覺。我們花很多工夫做一個好的命題，有想法的時候，你考慮這個想法對不對有時候晚上睡不好，想得很辛苦。有時候想的辛苦了，就一睡睡很久，假如你做學問做到這個地步，你會解決很多意想不到的問題。我想沒有人是特別聰明，可是你花了很多工夫，能夠進入交通或清華大學，應當資質都不會太差。我想你花了那麼多工夫進研究院，一定希望有一些成果。

我們做學問跟愛情不太同，有時候不一定看到一個目標，而是看到其它。就像我剛才講的，我們要解決Poincare conjecture，最後還沒解決它，可是解決了其它的命題，這是數學歷史上常常有的。每一個人都有這個經驗，你明明要解決這個問題，結果發現解決了其它的問題。這是因為我們做這個題目的時候，不曉得走法對不對，可是你將這個工具全部搞好以後，基本的想法、有意思的想法你自己曉得以後，就可以解決很多問題了。在這個路上走的時候，思想不要太頑固。你要知道還有其他有意思的問題。就是你發展了一套想法以後，往往有其它的問題你剛好可以解決。可是也因此你要曉得，你在整個做研究的過程裡面，你眼睛要睜開，眼睛怎麼睜開呢？很多學生不願意去聽colloquium，也不願意去聽其他人的seminar。不聽seminar 就不曉得人家在做什麼東西。明明你的方法可以解決他們在做的問題，但你眼睛閉起來、看不到，這是一個很大的困難。很多學生尤其是中國學生，講我的論文是做這個，這個seminar 與我的論文無關，我不願意去聽、不願意去看、不願意去跟人家來往、不願意去跟人家談。結果你做的論文可能不是你能解決的問題，可能你的方法剛好可以解決人家的問題。因為你不願意去聽、去看，你就解決不了問題。一個人的思維有限、能力有限，你不可能不靠人家的幫忙。什麼是人家的幫忙呢？一方面是看文章，聽seminar，一方面就是請教名家。你自己去請教別人的時候，百分之九十五人家不曉得你在做什麼，也不可能提供你直接的意見。假如能夠直接提供你意見，幫你直接地解決問題的話，你這個問題不見得是很重要的問題。可見你剛開始沒有搞清楚這個問題有多重要。但不要緊。多請教別人總是有好處，至少曉得這個問題有多好，還是不好。假如你怕發問，就在seminar 或colloquium 的時候要多聽，多聽對你的好處多得不得了。你在seminar 裡面就算聽不懂的話，至少你在看他寫的頭兩個字，你就曉得最近人家在做什麼事情。你可能覺得莫名其妙，可是事實上你可以得到好處，這是很要緊的。所以能夠有機會盡量去聽不同的課，對你是有很大的好處；念純數學的也應當去聽應用數學或物理方面的課。聽seminar 時，即使relax 一天，也沒有什麼關係，反正總比在家裡面無聊或看電視好。怎麼在一個孤立的地方，也能夠做一個好的學問。

我舉個例子來講，十四年前，復旦大學有一位學生，他要來跟我，我答應了收他。結果因為當時復旦大學的校長怕留學生全部走掉了，所以不准他出國，因此他沒有辦法來跟我。但是他將我80 年寫的問題集，大概有一百題的樣子，選了其中的一個題目去做，拚命的在做。我不曉得他拚命的在做這一個題目，雖然他在一個比較孤立的地方，可是十多年來只做這一個題目，最後去年做出很重要的結果。我覺得很高興，因為這一個題目是一個很不簡單的問題。可見你只要找對了題目，同時你拚命的花工夫去做，就算你不跟人家來往的話，也不見得做不出來。當然我不知道他是不是完全不跟人家來往，因為復旦大學裡面也有一些很不錯的數學家。我想不可能全部都不跟人家來往。可是在交大、清華這些地方是不能講是全部孤立的地方。在這個條件之下，我覺得絕對是可以做好的學問，只要我們將整個思路搞清楚、整個問題搞清楚。

今天講的主要是我覺得來了五年，我想講一講我念書的經驗，希望你能夠參考，我是這樣子的做法。可是不見得每一個人都要有這樣子的做法，因為每一個數學家都有對學問不同的看法。你可以追隨不同的路線，可是我想最開始所講的基本工夫要做好，是永遠少不掉的。然後要盡量去開發自己的領域，題目一定要做重要的。後來真的做得到的可能是比較小的結果。可是總比一開始只想做不重要的題目來得好。到了解決整個主要的問題以後，你的看法或對於整個學問的看法又不同，你會有不同的想法。

今天就講到這裡，謝謝大家。

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