彈性力學變分提法隨記

馮西橋視頻

概念

彈性力學有兩種提法，一種微分提法，一種變分提法。微分提法從微元入手，得到嚴格滿足方程和邊界條件的強解；變分提法從整體（能量）入手，得到弱解。

滿足位移約束條件的稱為運動許可狀態，滿足平衡方程和力邊界條件的為靜力許可狀態。對應的變分分別是虛位移和虛應力。

定義應變勢能和應變余能，應變能密度函數是曲線下面的部分，應變余能密度函數是曲線上面的部分。

可能功原理和互等定理

可能功原理

考慮彈性體的兩個狀態，狀態一是應力許可的，狀態二是運動許可的。那麼外力功等於內力功，狀態一的外力在狀態二位移做的功=狀態一的應力在狀態二的應變上做的功。

注意，此處不涉及到本構，狀態一和狀態二是相互獨立的。

功的互等定理

可能共原理中狀態一和二是任意的。考慮特殊情況，狀態一二都是真實的變形情況（荷載可能不同）。第一組力在第二組位移上的功等於第二組力在第一組位移上的功。

虛功原理和余虛功原理

虛功原理

考慮可能功的特殊情況，狀態一是彈性體在荷載作用下的真實變形情況，狀態二是一個虛位移（滿足位移約束和幾何方程，無限小）。有兩種敘述：正定理——外力虛功等於應力虛功。逆定理——總能滿足虛功原理的應力場，一定滿足平衡方程且滿足力的邊界條件。

余虛功原理

虛功原理中，是可能功原理對位移取變分，如果可能功原理對應力取變分，就得到余虛功原理。狀態一是假想的虛應力場（符合靜力條件，無限小），狀態二是真實的變形。有兩種敘述：正定理——位移邊界上的虛反力的功等於虛應力的功。逆定理——總能滿足余虛功原理的位移場，滿足邊界條件且協調。

最小勢能原理和最小余能原理

最小勢能原理

彈性體的真實狀態的最小勢能是最小的。

推導：取狀態一為真實狀態，狀態二是運動可能狀態，狀態一的勢能減去狀態二的勢能，恆小於零。推導過程中用到了可能功原理（故要求狀態二是運動許可的）。狀態二是任意運動許可的，故最小勢能原理是大範圍極值的。

最小余能原理

彈性體真實狀態的余能是最小的。

推導，狀態一是真實狀態，狀態二是靜力許可的。狀態一的余能減去狀態二的余能，恆小於零。

兩者關係：真實狀態的勢能+余能=0。

里茲方法和伽遼金方法

里茲方法

根據彈性體的結構，荷載和約束，假設位移場（位移函數），滿足位移邊界條件；求出勢能；對勢能取變分，得到線性方程組；求解方程組。

注意：

1.位移函數的假設和選取會影響到精度，選取的函數形式如果是真實的，那麼能夠得到真實解。最小勢能原理是對所有的位移變分都滿足，假設位移函數後，位移的變分只是一類特殊的變分，沒有涵蓋到所有的變分，是一種近似解，因此會產生誤差。（應力的誤差大於位移的誤差）

2.在利茲方法中，沒有用到平衡方程，取一個微元出來，是不滿足平衡方程的。

伽遼金方法

里茨法僅要求試驗函數滿足約束邊界條件，而迦遼金法還要求滿足自然邊界條件。在利茲方法中，選取的位移函數只滿足位移約束，沒有滿足力的邊界條件。伽遼金方法中做了改進，選取的位移函數既滿足位移邊界條件，又要滿足力的邊界條件。伽遼金方法得到的解是平衡方程在彈性體上的加權積分滿足，權函數就是虛位移。所以結果也不是沒一點滿足平衡方程，是一個弱形式的解。

伽遼金方法的位移函數更難選取，但如果能選取出來，精度更高。

最小余能原理

假設滿足靜力條件的應力試驗函數，求出總余能表達式，取變分得到方程組，求解方程組。

例題：用最小余能原理求解懸臂樑。假設一個值等於0的力邊界，力本身等於0，但變分不等於0。

注意：小變形，用的是cauchy應變

疑問：

1.變分推導的力學背景很強，和偏微分方程中的變分原理相比共通之處。

2.伽遼金法和利茲法

3.復連通域只能再一個邊界上施加位移荷載，別的邊界上是待定參數，那有限元在物體內部施加的位移約束是？