星星於絕對真理

這是一期很奇怪的節目，我們從概略的回顧一些關於星形或星芒符號的故事，轉而討論這類幾何形狀在數學史上的兩則逸聞：

一則關於無理數的發現，一則關於歐拉多面體定理的早期爭議。

這兩則逸聞將使我們對數學那種「真理性」產生一些微妙的懷疑。

https://www.zhihu.com/video/965707981149683712

－文字稿－

我們曾在第一期節目里討論過六芒星與晶狀體縫線衍射之間的關係，這當然是對觀察現象的直白記錄，但是當人們將它畫成兩個等邊三角形重疊的六芒星，就成了純粹的象徵符號。

猶太人將它看作「大衛之星」，是最有魔法的符號，這種做法一直延續到近代，它被看作大宇宙的靈符受到神秘主義的重視——在很大程度上，這是因為一正一反的兩個等邊三角形讓人想起測地術或者古典幾何學中的圓規和直角尺——而這種純粹理性的學問長期以來被視為溝通上帝的知識。

提到幾何學乃至整個數學，這門學問在大多數人心目中都最符合「與觀察者無關的恆常事物」的描述，以至於在康德以前的哲學家都將數學視為「絕對真理」，並且為絕對真理緣何進入人類的意識而激烈爭辯。

然而數學上的星形，恰恰見證了這種絕對真理的裂痕。

我們此前多次接觸過希臘的畢達哥拉斯（Pythagoras，約前580年－前500年），討論過他的五度相生律，這是一種直接衍生自數學的樂理知識：畢達哥拉斯時代還沒有通用的長度單位，也沒有除法。他們如果想要知道兩個長度的比例，就用繩子度量出來，然後用較長的那根減去較短那根，得到一根新的繩子，再用新繩子和原先較短的那根繩子重複這個過程，最後如果得到兩根相等的繩子，就是它們的最大公約數——這就是輾轉相減法。

由於修剪繩子總是一件粗糙的事情，所有輾轉相減法一定能得到公約數，畢達哥拉斯因此宣稱，世界上任意兩數都能公約。

但是觀察這個五角星：求取其中長邊和次長邊的比例，也用輾轉相減法，我們就會發現這是一件無窮無盡的事情——也就是說，這兩個長度不可公約。

這在今天看來理所當然——因為我們知道這個比例就是黃金分割，一個無理數，無限不循環，很美。但在畢達哥拉斯的時代，這卻毀壞了無暇的數學真理，構成了第一次數學危機——那個發現無理數的年輕人因此淹死在了水裡。

所以我們第一次看到，數學首先是描述觀察現象的語言，既然觀察只停留於粗糙地剪短繩子，那麼據此建立的數學體系也無法應對無窮的精度。

數學那種所謂的恆常不只這一處裂痕。

在1750年，近代幾何剛剛誕生的時候，歐拉提出過任意多面體的頂點數減去棱數加上面數等於2的經驗公式，柯西在1811年證明了這個歐拉公式：

將多面體去掉一個面壓扁在平面上，成為一個網圖

添加對角線把所有面分割成三角形，每增加1條邊就同時增加1個面，這不影響歐拉公式的結果

去掉只屬於1個面的邊，比如圖中虛線那條，這將同時減少1條邊和1個面，這不影響公式結果；

再去掉只有兩條邊的頂點，這將同時減少1個頂點、2條邊和1個面，仍然不影響公式結果；

不斷重複前兩步，任意多面體都能退化成一個三角形，而三角形有3個頂點、3條邊和1個面，再加上最初去掉的那1個面，歐拉公式得證。

這個證明讓歐拉公式成為了歐拉定理，然而只可惜定理的反例層出不窮——每一步操作都能找到例外。

而三維空間中的星形就是一個集大成者：

「小星形十二面體」（Small stellated dodecahedron）——是用12個五角星彼此穿透構成的多面體，顯然，它既不能被壓扁，每個面也不能被對角線分成兩半，更談不上去掉哪條邊或哪個頂點——而且它有12個頂點，30條棱和12個面，公式右邊竟然是——真是忤逆。

歐拉定理的支持者和反對者就此展開了激烈的爭論，包括認為小星形十二面體不是多面體，或者認為歐拉定理僅適用於凸多面體，都差強人意。一種看上去最有效的解決方法是將小星形十二面體詮釋為60個三角形圍成的凹多面體，那麼它就將是32個頂點，90條棱，60個面，重新滿足了歐拉公式。

但而這就引出了一個新的問題：為什麼我們一定要採用符合歐拉公式的詮釋呢？——或者更露骨地說，數學現象和數學結論，究竟要誰來決定誰？在激烈活躍的學術論戰之上，數學知識究竟是蓋棺論定的結論，還是一個動態過程的快照？

這個複雜的問題就留給熱愛數學的讀者思考了。