離散、連續概率分布小結＋python中的應用

• 本文為梳理離散、連續分布的導讀類筆記，大神請繞道，謝謝；
• 本文閱讀大約需要15分鐘左右；
• 若您發現文中有錯誤之處，歡迎留言指正，謝謝。

前言

1. 隨機變數：量化隨機事件的函數，將每個可能的隨機事件結果賦予一個數字；
2. 概率分布：分布是指數據在統計圖中的形狀，則概率分布是指將隨機變數的概率在統計圖中的表現形式；
3. 四種離散分布：伯努利分布、二項分布、幾何分布、泊松分布等；
4. 四種連續分布：正態分布、冪律分布、指數分布、 分布等。

一，離散分布

1.1 伯努利分布

# 準備要用到的包import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltimport scipy.stats as stats# 生成一個0，1的數組X=np.arange(0,2,1)Xarray([0, 1])# 用bernoulli分布計算0和1時的概率分別是多少p=0.5y=stats.bernoulli.pmf(X,p)yarray([ 0.5, 0.5])plt.style.use(ggplot)f,ax=plt.subplots(figsize=(8,5))plt.scatter(X,y,marker=o,color=r)plt.vlines(X,0,y,color=y)# 設置圖像plt.title(伯努利分布,fontsize=22)plt.xlabel(隨機變數,fontsize=15)plt.ylabel(概率,fontsize=15)plt.show()

關於豎線vline

1. vline(x坐標值, y坐標最小值, y坐標值最大值)
2. plt.vlines(X,0,y)，其中X，y都是數組，且是一一對應關係。如上是，兩天豎線

1.2 二項分布(Binomial Distribution)

如何檢驗一個分布是不是二項分布？

1. 做某件事的次數n是一定的；
2. n次事件是相互獨立的，而且每次的概率是一樣的，例如每次拋硬幣正面朝上的概率；
3. 每次實驗有且只有兩個結果，p+q=1;
4. 想知道n次中，某一種情況p或q出現k次的概率。
5. 二項分布是離散分布，其概率用概率質量函數pmf計算
6. 期望為np，方差為np(1-q)

以上就是二項分布的特徵，如符合則該分布是二項分布。

二項分布概率質量函數PMF為：

期望和方差：

* 期望：np , n次獨立事件預計成功多少次；

# 計算概率n=5;p=0.5x=np.arange(0,n+1,1)#準備隨機變數，拋5次關於正面朝上有6種可能ylist=stats.binom.pmf(x,n,p)#計算出現各種可能的概率ylistarray([ 0.03125, 0.15625, 0.3125 , 0.3125 , 0.15625, 0.03125])# 繪圖plt.style.use(ggplot)f,ax=plt.subplots(figsize=(8,5))plt.plot(x,ylist,marker=o,linestyle=,color=r)plt.vlines(x,0,ylist,color=y)#繪製豎線# 設置#千萬注意％的使用:%d表示替換為整數，%0.2f替換為保留2為的浮點型數字，%s替換為字元串plt.title(二項分布：n＝%d,p=%0.2f%(n,p),fontsize=22)plt.xticks(fontsize=12)plt.xlabel(正面朝上的次數,fontsize=15)plt.yticks(fontsize=12)plt.ylabel(概率,fontsize=15)# plt.text:第3個參數一定是文本，若其中有動態數字，一定要用格式化字元串％for i in x: plt.text(i,ylist[i]+0.006,%0.5f % ylist[i],ha=center, va= bottom,fontsize=11)# ha=center:水平居中；va= bottom：垂直方向在底部plt.show()

1.3 幾何分布(Geometric Distribution)

如何檢驗一個分布是幾何分布？

1. 做某件事的次數n是一定的；
2. n次事件是相互獨立的，而且每次的概率是一樣的，例如每次拋硬幣正面朝上的概率；
3. 每次實驗有且只有兩個結果，p+q=1;
4. 求的是第k次做某件事採取的第1次成功的概率

注意與二項分布的區別是：

• 二項分布：n次中共出現k次的概率
• 幾何分布：知道第k次才第1次成功的概率

幾何分布概率質量函數PMF及期望、方差：

• 
• 期望： , 用於估計多少次後取得第1次成功
• 方差： , 用於估計數據波動大小

# 定義隨機變數：計算n=5時，各個k對應的幾何分布概率x=np.arange(1,6,1)p=0.6y_geo=stats.geom.pmf(x,p)y_geoarray([ 0.6 , 0.24 , 0.096 , 0.0384 , 0.01536])# 繪圖f,ax=plt.subplots(figsize=(8,6))plt.plot(x,y_geo,marker=o,linestyle=,color=r)plt.vlines(x,0,y_geo,color=y)# 設置plt.title(幾何分布：k=[1~5],p=%.2f% p,fontsize=22)plt.xlabel(實驗次數,fontsize=15)plt.ylabel(概率,fontsize=15)plt.xticks(fontsize=12)plt.yticks(fontsize=12)# 設置數據點標籤，注意x從1開始，而y_geo索引從0開始for i in x: plt.text(i,y_geo[i-1]+0.006,%.4f% y_geo[i-1], ha=center, va= bottom,fontsize=12)plt.show()

1.4 泊松分布(Poisson Distribution)

如何驗證是泊松分布？

1. 事件是獨立事件；
2. 任意相同的時間範圍內，事件發生的概率相等；
3. 求：某個時間範圍內事件發生k次的概率。

概率質量函數PMF和參數

1. k：事件發生的次數；
2. ：給定時間範圍內事件發生的平均數
3. PMF：
4. 期望和方差都是：

# 定義隨機變數mu=2# 已知某路口每天平均發生2次交通事故k=4# 求該路口1天發生4次交通事故的概率y=stats.poisson.pmf(k,mu)y0.090223522157741778# 定義隨機變數列表：0至4次x=np.arange(0,k+1,1)y_poiss=stats.poisson.pmf(x,mu)y_poissarray([ 0.13533528, 0.27067057, 0.27067057, 0.18044704, 0.09022352])# 繪圖展示f,ax=plt.subplots(figsize=(10,5))plt.plot(x,y_poiss,marker=o,linestyle=)plt.vlines(x,0,y_poiss,color=y)plt.title(泊松分布：發生0至4次事故的概率分布，均值為:2,fontsize=22)for i in x: plt.text(i,y_poiss[i]+0.006,%.5f%y_poiss[i], ha=center,va=bottom)

二，連續分布

幾種重要連續概率分布

1. 正態分布
2. 冪律分布
3. 指數分布
4. 分布

接下來重點介紹正態分布，其餘分布在大量數據情況下也趨於正態分布。

正態分布

求正態分布的3個步驟

1. 確定概率範圍：如x<3，明確了範圍
2. 計算標準分：標準分＝(x-平均值)／標準差
3. 查表看概率值：根據這個標準分查表

兩種情況下的概率

1. p(x>3)=1-p(x<3)
2. p(2<x<5)=p(x<5)-p(x<2)

import numpy as npfrom scipy import statsimport matplotlib.pyplot as pltplt.style.use(ggplot)#定義隨機變數mu=0sigma=1x=np.arange(-5,5,0.1)xarray([ -5.00000000e+00, -4.90000000e+00, -4.80000000e+00, -4.70000000e+00, -4.60000000e+00, -4.50000000e+00, -4.40000000e+00, -4.30000000e+00, -4.20000000e+00, -4.10000000e+00, -4.00000000e+00, -3.90000000e+00, -3.80000000e+00, -3.70000000e+00, -3.60000000e+00, -3.50000000e+00, -3.40000000e+00, -3.30000000e+00, -3.20000000e+00, -3.10000000e+00, -3.00000000e+00, -2.90000000e+00, -2.80000000e+00, -2.70000000e+00, -2.60000000e+00, -2.50000000e+00, -2.40000000e+00, -2.30000000e+00, -2.20000000e+00, -2.10000000e+00, -2.00000000e+00, -1.90000000e+00, -1.80000000e+00, -1.70000000e+00, -1.60000000e+00, -1.50000000e+00, -1.40000000e+00, -1.30000000e+00, -1.20000000e+00, -1.10000000e+00, -1.00000000e+00, -9.00000000e-01, -8.00000000e-01, -7.00000000e-01, -6.00000000e-01, -5.00000000e-01, -4.00000000e-01, -3.00000000e-01, -2.00000000e-01, -1.00000000e-01, -1.77635684e-14, 1.00000000e-01, 2.00000000e-01, 3.00000000e-01, 4.00000000e-01, 5.00000000e-01, 6.00000000e-01, 7.00000000e-01, 8.00000000e-01, 9.00000000e-01, 1.00000000e+00, 1.10000000e+00, 1.20000000e+00, 1.30000000e+00, 1.40000000e+00, 1.50000000e+00, 1.60000000e+00, 1.70000000e+00, 1.80000000e+00, 1.90000000e+00, 2.00000000e+00, 2.10000000e+00, 2.20000000e+00, 2.30000000e+00, 2.40000000e+00, 2.50000000e+00, 2.60000000e+00, 2.70000000e+00, 2.80000000e+00, 2.90000000e+00, 3.00000000e+00, 3.10000000e+00, 3.20000000e+00, 3.30000000e+00, 3.40000000e+00, 3.50000000e+00, 3.60000000e+00, 3.70000000e+00, 3.80000000e+00, 3.90000000e+00, 4.00000000e+00, 4.10000000e+00, 4.20000000e+00, 4.30000000e+00, 4.40000000e+00, 4.50000000e+00, 4.60000000e+00, 4.70000000e+00, 4.80000000e+00, 4.90000000e+00])# 定義概率密度函數PDFy=stats.norm.pdf(x,mu,sigma)# 求一個試試看：y(x<0)的概率密度函數值y_0=stats.norm.pdf(0,mu,sigma)print(y_0)0.398942280401plt.style.use(ggplot)# 畫出概率密度函數yf,ax=plt.subplots(figsize=(10,5))plt.plot(x,y)plt.vlines(0,0,y_0,linestyle=--,color=y)plt.title(正態分布:$mu$=%.1f,$sigma$=%.1f%(mu,sigma),fontsize=22)plt.xlabel(隨機變數：x,fontsize=15)plt.ylabel(概率：y,fontsize=15)plt.xticks(fontsize=12)plt.yticks(fontsize=12)plt.show()

親自動手求 的區間

之前總聽說服從正太分布的數據，落在 之間的佔到99.74%，那麼99.74%究竟是怎麼來的？該如何得出這個比例？

正太分布的概率，完全取決於 $和 ，現以標準正太分布為例：

1. ：即是求P(-3 )
2. 根據求正太分布概率的步驟，先求出標準分，即3
3. 查表可知，x=3時概率為0.9987
4. 帶入第1步計算可知，2*0.9987-1=0.9974，即99.74%

三，小結

• 注意區分四種離散概率分布的適用情況、概率計算；
• 四種連續的概率分布，由於時間的關係，只來得及整理正態分布，後面幾個將在日後整理更新到本文中。
• 理解為上。在理解的基礎上，在python中實現將大大加深記憶。

以上就是本文的全部，謝謝你查看????

人氣稀薄????，急需關愛????。

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