一文讀懂彈性力學——QuYln原創

04-20

今天的主題是：如何讀懂彈性力學，以及彈力的大總結。

之所以寫「原創」，希望有些人轉載的時候說一聲，以後別直接粘貼複製了。

哈哈，希望大家把這篇文章贊起來，我後續還要補充，想分享給更多學習的人看到！

對於初學者，建議不要看，給學習過彈性力學的朋友分享以下我的體會。

一、內容梳理：

（1）首先講直角坐標的求解，然後講極坐標的求解，之後講了能量法如何求解平面問題；

（2）直角坐標的邏輯是，以位移為基本未知量進行求解，以應力作為未知量進行求解，常體力下基於應力函數的求解，這三個基本思路；

note：常常使用逆解答與半逆解答，其實逆解答就是你開始就嘗試用一個已知形式的應力函數解決問題（是曾經有的積累），而半逆解答往往伴隨著量綱分析，從應力的形式推理出一個未知的應力函數，帶入重調和方程，先求解應力函數，再求解應力。

（3）極坐標的求解主要還是基於用逆解與半逆解，基於應力函數來求解，只不過這裡的方程形式都已經變了；

（4）極坐標得到了許多有趣的解答，比如說含空洞的多連同結構的應力場分析（孔洞應力集中），半空間體（地基）受到分布荷載作用下的沉降；

（5）能量原理部分，這裡只闡述基於位移變分的能量原理，主要想講清楚「里茲法」，是基於什麼原理導出方程的；

（6）空間問題的簡單梳理。

二、彈性理論基本原理（我的解讀）：

（1）聖維南原理：其實就是一種對載荷的處理手段，因為在PDE的邊界處，集中力，集中力偶這種形式是非常難以描述的，描述出來也沒有辦法解答，所以對於小邊界（相對次要的邊界），可以採用靜力學的方法進行等效，一般等效成分布力，使得這個分布力系相對於原來的集中力，集中力偶有相同的靜力學特徵，即分布力系據有與集中力（偶）對應的相同的主矢，主矩。這麼做，對替換力系處有顯著地影響，但是對於其餘的位置，幾乎沒有影響。

（2）疊加原理：由於「小變形的」彈性力學問題，具有幾何線性，物理線性的特點，其平衡方程和幾何方程都是線性微分方程，物理方程也是線性代數方程組，所以其解答具有可疊加的特點，也就是說，在兩組分別給定的體力，面力，既定位移的作用下，彈性問題有了兩組應力，應變，位移解答，但是當兩組載荷同時施加，且處於平衡狀態時，此時的解，應該為前面兩組解答的直接疊加。疊加原理也可以用作複雜問題分解成兩個簡單問題的「分解原理」。

（3）解的唯一性定理：對於彈性力學問題，處理的方法是非常多的，但是結果是否唯一呢，答案是肯定的。在給定的體力，面力，既定位移的作用下，彈性體內每一點的應力，應變，位移都是一定的，如果彈性體具有位移邊界，那麼位移也是一定的。（可以分別假設有兩組解，讓兩組解做差，經過推導，差為了零，故解答具有唯一性）

（4）功的互等定理：對於彈性體的兩種受力狀態，第一種狀態的作用力在第二組狀態所產生的位移上做的功，等於第二種狀態上的力在第一組狀態所產生的位移上做的功。

三、直角坐標系下的相關問題：

首先，給出一些常用的符號表達式：

$G=frac{E}{2left( 1+mu ight)}$

$K=frac{E}{ 1-2mu}$

$lambda=frac{Emu}{（1+mu）（1-2mu）}$

$heta=varepsilon_{kk}=varepsilon_{x}+varepsilon_{y}+varepsilon_{z}$

$Theta=sigma_{kk}=sigma_{x}+sigma_{y}+sigma_{z}$

（1）按照位移求解：

先給出一個張量方法的推導：

$sigma_{ij，j} + f_{i} = 0$

$varepsilon_{ij}= frac{1}{2} （u_{i，j}+u_{j，i}）$

$sigma_{ij} = 2G varepsilon_{ij} + lambda varepsilon_{kk}delta_{ij}$

用位移表示的平衡方程：

$Gu_{i，jj} + （ lambda +G ） heta_{，i} +f_{i} = 0$

note：

$u_{i，jj}=?^{2}（u_{i}）$

用位移表達的應力邊界條件：

$（G （u_{i，j}+u_{j，i}） + lambda varepsilon_{kk}delta_{ij}）n_{j}=ar{f_{i}}$

具體的推導見：

QuYln：解放雙手——彈性力學中愛因斯坦的張量表示方法

其實，按照位移求解，用張量推導是非常簡便的，但是這裡存在的問題是，給出的方程是3D的，它是基於「完整的廣義胡可定律」的。

那麼2D的按照位移求解的方程是不是可以直接取Z方向的位移分量等於0就得到了呢？

平面問題，一定要區分平面應變問題與平面應力問題，在包含位移的時候，如果把Z方向的位移略去，得到的一定是平面應變問題，此時，要通過代換得到平面應力的結果。

$E→frac{（1+2mu）}{（1+mu）^{2}}E$

$mu→frac{mu}{1+mu}$

而在物理方程中，略去Z方向的正應力，所得到的卻是平面應力的物理方程，要得到平面應變問題的結果，還是需要經過代換。

$E→frac{E}{（1-mu^{2}）}$

$mu→frac{mu}{1-mu}$

所以，先將Z方向位移取為0，再經過彈性模量和泊松比的代換，才能得到平面應力狀態下的按位移求解的方程，不如直接推導：

這裡我只說一下步驟，我就不具體來了，首先，將平衡方程中的應力都換成應變來表達，這一步就是有困難的，因為我們一般只記得住廣義胡克定律，以及平面應力狀態下的廣義胡克定律，所以，我們不妨用矩陣表達平面應力下的應力應變關係，這個三階矩陣的逆矩陣很好求，分塊以後就是一個二階矩陣，和一個常數。得到了應變表達的應力，帶入平衡方程，現在平衡方程改為應應變表達的了，再利用幾何方程就搞定了。我認為比3D張量形式再簡化簡單一些。

（2）按照應力求解（待補充）：

按照應力求解的核心是「協調方程」的建立。

首先，平衡方程是不變的，其本身就是用應力來表達的，接下來，由於應變由位移決定，故存在某些使得位移連續關係，找出其滿足的關係等式，即得到了用應變表達的協調方程，接下來，用廣義胡可定律，把應變用應力帶換掉，再和平衡方程結合經過一些小處理，就得到了應力表達的相容方程。

其實這裡的按應力求解，和材料力學裡的解決超靜定問題的力法非常相似，通過物理方程和幾何方程聯立，得到補充方程，再結合靜力學平衡方程進行求解。

（3）常體力下按照應力函數求解（待補充）：

常體力下，用應力表達的相容方程具有很簡潔的形式，即：

$?^{2}(sigma_{x}+sigma_{y})=0$

然而，對於平衡方程，是一個非齊次方程，我們可以通過求對應的齊次方程的通解加非齊次方程的特解的方式求原方程其通解。

得到了應力的表達式之後，帶入原本的相容方程，就得到了新的重調和方程：

$?^{4}Phi=0$

四、極坐標下的相關問題：

（1）基本方程在極坐標的表達：

平衡方程：

$frac{partial sigma_{ ho} }{partial ho} +frac{1}{ ho} frac{partial au_{ heta ho} }{partial heta } + frac{ sigma_{ ho}- sigma_{ heta} }{ ho} + f_{ ho}=0$

$frac{partial au_{ ho heta} }{partial ho} +frac{1}{ ho} frac{partial sigma_{ heta} }{partial heta } + frac{ 2 au_{ ho heta} }{ ho} + f_{ heta}=0$

幾何方程：

$varepsilon_{ ho}=frac{partial u_{ ho} }{partial ho}$

$varepsilon_{ heta}=frac{ u_{ ho} }{ ho}+frac{1}{ ho}frac{partial u_{ heta} }{partial heta}$

$gamma_{ ho heta} = -frac{ u_{ heta} }{ ho}+frac{partial u_{ heta} }{partial ho} +frac{1}{ ho}frac{partial u_{ ho} }{partial heta}$

（2）應力函數及應力的表達：

$(frac{partial^{2}}{partial^{2} ho} +frac{1}{ ho}frac{partial^{2}}{partial ho} +frac{1}{ ho^{2}}frac{partial^{2}}{partial heta ^{2}})^{2}Phi=0$

$sigma_{ heta}= frac{partial^{2}Phi}{partial^{2} ho}$

$sigma_{ ho}=frac{1}{ ho}frac{partial^{2}Phi}{partial ho} +frac{1}{ ho^{2}}frac{partial^{2}Phi}{partial heta ^{2}}$

$au_{ ho heta}=-frac{partial}{partial ho}（frac{1}{ ho}frac{partial Phi}{partial heta }）$

先給出這裡的一系列坐標變換：

$sigma_{ ho}=frac{1}{2}(sigma_{x}+sigma_{y})+frac{1}{2}(sigma_{x}-sigma_{y})cos2 heta+ au_{xy}sin2 heta$

$sigma_{ heta}=frac{1}{2}(sigma_{x}+sigma_{y})-frac{1}{2}(sigma_{x}-sigma_{y})cos2 heta- au_{xy}sin2 heta$

$au_{ ho heta}=-frac{1}{2}(sigma_{x}-sigma_{y})sin2 heta+ au_{xy}cos2 heta$

其實這裡的坐標變換非常簡單，只是形式複雜，用張量的坐標變換即可，左右各乘一個轉換矩陣和轉換矩陣的轉置即可。

具體見：

QuYln：彈性力學的極坐標解答（上）

（3）孔口的應力集中問題（重點，待補充）

（4）半空間體受荷載作用的沉降問題（重點，待補充）

五、能量原理（變分原理）：

QuYln：變分法&能量原理（上）

QuYln：變分法&能量原理（中）

QuYln：變分法&能量原理（下）

以上三篇文章里，其實有非常詳細的變分原理的推導（結合張量），這次，我具體說幾個點，之前沒有太重點說明的地方。

$（1.） varepsilon_{ij} varepsilon_{ij}=varepsilon_{11}^{2} +varepsilon_{22}^{2} + varepsilon_{33}^{2} + 2varepsilon_{12}^{2} + 2varepsilon_{13}^{2}+ 2 varepsilon_{23}^{2}$

$（2.）varepsilon_{11}^{2} +varepsilon_{22}^{2} + varepsilon_{33}^{2} + 2varepsilon_{12}^{2} + 2varepsilon_{13}^{2}+ 2 varepsilon_{23}^{2} =varepsilon_{x}^{2} + varepsilon_{y}^{2} +varepsilon_{z}^{2}$

$+ frac{1}{2} gamma_{xy}^{2} +frac{1}{2} gamma_{xz}^{2} +frac{1}{2} gamma_{yz}^{2}$

note：本身就是兩個啞指標的求和，只是，這裡我們必須分清楚，張量應變與工程應變。區別就是上面的兩個表達式，第一個是張量應變求和，第二個是工程應變。

（1）三大位移變分原理的綜述：

位移變分方程和虛位移原理是一種基於能量守恆的變體。

位移變分方程沒有把應變能的變分具體化，而虛位移原理則具體化了應變能的變分。

最小勢能原理實則表達了把位移變分方程或者虛位移的變分符號整體提出之後，所表達成的某個泛函的一階變分為零，這個泛函就是總體的勢能。

$（1.）delta V_{varepsilon} = int_{V}^{} f_{i} delta u_{i} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{i}} delta u_{i} dS$

$（2.）int_{V}^{} sigma_{i} delta varepsilon_{i} d V = int_{V}^{} f_{i} delta u_{i} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{i}} delta u_{i} dS$

$（3.）delta [V_{varepsilon} -（ int_{V}^{} f_{i} u_{i} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{i}} u_{i} dS）]=0$

（2）基於應力變分方程的試函數方法（里茲法）

$delta V_{varepsilon} = sum_{m}^{} {（frac{partial V_{varepsilon}}{partial A_{m}} delta A_{m}+ frac{partial V_{varepsilon}}{partial B_{m}} delta B_{m} +frac{partial V_{varepsilon}}{partial C_{m}}delta C_{m}）}$

以上就是求解的核心，把左邊的應變能變分寫成關於係數的展開形式。

$delta V_{varepsilon} = sum_{m}^{}{} int_{V}^{} f_{x} u_{m} delta A_{m} +f_{y} v_{m} delta B_{m} +f_{z} w_{m} delta C_{m} dV$

$+ sum_{m}^{}{}int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{x}} u_{m} delta A_{m} +ar{f_{y}} v_{m} delta B_{m} +ar{f_{z}} w_{m} delta C_{m}dS$

將所有關於係數變分的式子合併，即：

$sum_{m}^{}{}（frac{partial V_{varepsilon}}{partial A_{m}} - int_{V}^{} f_{x} u_{m} dV - int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{x}} u_{m} dS）delta A_{m}$

$+sum_{m}^{}{}（frac{partial V_{varepsilon}}{partial B_{m}} - int_{V}^{} f_{y} v_{m} dV - int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{y}} v_{m} dS）delta B_{m}$

$+sum_{m}^{}{}（frac{partial V_{varepsilon}}{partial C_{m}} - int_{V}^{} f_{z} w_{m} dV - int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{z}} w_{m} dS）delta C_{m} =0$

由於變分具有任意性，則必須使其係數為零，即（其實為線性方程組）：

$frac{partial V_{varepsilon}}{partial A_{m}} = int_{V}^{} f_{x} u_{m} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{x}} u_{m} dS$

$frac{partial V_{varepsilon}}{partial B_{m}} = int_{V}^{} f_{y} v_{m} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{y}} v_{m} dS$

$frac{partial V_{varepsilon}}{partial C_{m}} = int_{V}^{} f_{z} w_{m} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{z}} w_{m} dS$

說一句很重要的話，其實，里茲法的關鍵就在於用位移表達應變能，然後用試函數帶入其中，現在寫出應變表達應變能的表達式，再用幾何方程代替即可：

$V_{varepsilon}=frac{1}{2} frac{E}{left ( 1+mu ight)} int_{V}^{}[ （ varepsilon_{x}^{2} + varepsilon_{y}^{2} +varepsilon_{z}^{2} ）+frac{1}{2}（ gamma_{xy}^{2} + gamma_{xz}^{2} + gamma_{yz}^{2} ）$

$+ frac{mu}{（1-2mu）} heta^{2}] d V$

（3）基於伽遼金變分方程的試函數方法（伽遼金法）

$(1.)delta V_{varepsilon} = int_{V}^{} sigma_{x} frac{partial }{partial x}（delta u） d V = int_{V}^{}frac{partial }{partial x}（sigma_{x} delta u）d V - int_{V}^{} delta u frac{partial }{partial x}（ sigma_{x} ） d V$

$(2.) int_{V}^{} frac{partial }{partial x}（sigma_{x} delta u）d V = int_{S}^{} （ sigma_{x} delta u） dy dz = int_{S}^{} （ sigma_{x} delta u）l dS$

以上兩個步驟是伽遼金法不同於位移變分方程的主要因素，即講應變能變分進行具體化，在虛位移原理的基礎上，講應變的變分用位移來進行表徵，結果就是如下的：

$(3.)int_{V}^{} [(1)delta u+(2)delta v+(3)delta w] dV - int_{S_{sigma}}^{} [(4)delta u+(5)delta v+(6) delta w] dS =0$

其實這個式子，在上一步推導出來時還沒有略去後一部分的時候，已經證明了變分方法和偏微分方程邊值問題的等價性，由於虛位移的任意性，必須要求係數等於零。

而六個係數，就是位移表示的平衡方程和位移表示的應力邊界條件。

當位移不僅滿足位移邊界條件，還滿足應力邊界條件時，得到的就是伽遼金變分方程。

$(4.)int_{V}^{} [(1)delta u+(2)delta v+(3)delta w] dV =0$

現在說一句，特別，特別重要的話，其實，試函數方法求解伽遼金變分方程的關鍵步驟，就是講（1），（2），（3）用位移來表示。即：

$int_{V}^{} [(Gu_{x，jj} + （ lambda +G ） heta_{，x} +f_{x} )delta u+(Gu_{y，jj} + （ lambda +G ）$

$heta_{，y} +f_{y})delta v+(Gu_{z，jj} + （ lambda +G ） heta_{，z} +f_{z})delta w] dV$

再將位移的變分帶入其中，即得到最終要求解的方程組：

$delta u=sum_{m}^{}{ u_{m} delta A_{m} }$

$delta v=sum_{m}^{}{v_{m}delta B_{m}}$

$delta w=sum_{m}^{}{w_{m} delta C_{m}}$

最終得到要求解的線性方程組，如下：

$int_{V}^{} (G?^{2}u + （ lambda +G ）frac{ partial heta}{partial x} +f_{x} )u_{m}dV=0$

$int_{V}^{} (G?^{2}v + （ lambda +G ）frac{ partial heta}{partial y} +f_{y} )v_{m}dV=0$

$int_{V}^{} (G?^{2}w + （ lambda +G ）frac{ partial heta}{partial z} +f_{z} )w_{m}dV=0$

六、空間問題簡述（待補充）：