p-可除群的一些基本性質(I):起源

04-20

似乎網路上沒有中文筆記介紹p-可除群，之前讀了一點基礎，於是抽空簡單寫一寫基本性質和證明思路，歡迎指出錯誤，同時推薦閱讀更專業的書籍：Demazure 《Lectures on p-divisible groups》以及Tate的原始論文《p-Divisble Groups》。另外，動機部分參考的一些比較困難的結論並不會有證明。

我們感興趣的對象是域 $k$ 上Abel簇（射影代數群），是橢圓曲線的推廣，rigid lemma表明群乘法交換，且代數群到Abel簇的態射都是平移複合群同態。與橢圓曲線理論相比，Abel簇理論需要更多工具，主要依賴線叢來處理問題，例如Theorem of cube，Theorem of square。但複數域上解析理論仍然使問題變簡單：複數域上Abel簇都解析同構於環面 $Bbb C^g / Lambda$ 。重要的是， $H^1(X,Bbb Z)=Lambda$ 決定了Abel簇的解析性質（基本群決定代數簇性質的特例）。如利用解析同構，容易看出 $[n]: A ightarrow A$ 是有限滿態射且 $A[n] cong frac{1}{n} Lambda /Lambda cong (Bbb Z/n)^{2g}$ 。

自然的問題是在正特徵( $p>0$ )情況如何構造 $Lambda$ 的類似物。此時沒有解析工具，一個想法是對每個素數l，構造 $Lambda otimes Bbb Z_l$ 的類比物。於是定義A的Tate模為 $T_lA=varprojlim_n A[l^n]$ ，其上帶有自然的Galois作用，當 $l ot= p$ 時作為Galois表示有同構 $T_l A cong (H^1_{et}(A_{overline k},Bbb Z_l))^{*}$ (*表示對偶，et表示平展上同調，是單純上同調的類比）。奇怪的事情發生在 $l=p$ ：此時 $[p]: A ightarrow A$ 不可分，實際上 $[p]=Ver circ Fr$ ，而Frobenius $Fr: A ightarrow A^{(p)}$ 純不可分且次數為 $p^g$ ，因此 $A[p^n](overline k)$ 的階小於等於 $p^{gn}$ （而非 $# (Bbb Z/p^n Bbb Z)^{2g}=p^{2gn}$ ），Tate模甚至可能為0（超奇異）。

在這時，一個想法是將 $G_n=A[p^n]$ 看成可能非常值的有限p群概形（這樣rank還是 $p^{2g}$ ，上述奇怪的事情是因為有的群概形沒有 $overline k$ 有理點因此不能數點看出，例如 $ext{Spec} Bbb F_p[x]/(x^p)$ ），利用有限群概形的理論研究，而同時對所有n考慮 $… ightarrow G_n ightarrow G_{n+1} ightarrow G_{n+2} ightarrow …$ 這一正向系統就是p可除群的例子（記為 $A[p^{infty}]$ ）。p可除群是一列滿足相容關係（例如正合列 $0 ightarrow G_n ightarrow G_{n+1} overset{p^n} ightarrow G_{n+1}$ ）的k上有限交換p群概形列，為什麼叫p可除群？因為令 $G=varinjlim_n G_n$ ，則 $[p]: G ightarrow G$ 是滿射且 $G$ 是 $p^{infty}$ 撓的，類似 $Bbb Q_p/ Bbb Z_p$ 。p可除群範疇可通過函子 $D$ 嵌入某個環D上的模範疇（Dieudonne-Manin theory），化成D模後可以用線性代數工具處理。對特徵p的perfect field $k$ 上Abel簇A，其晶體上同調 $H^1_{cris}(A/W(k))$ 典範同構於A對應的p可除群對應的D模 $D(A[p^{infty}])$ （晶體上同調也是單純上同調的類比），這說明p可除群確實是 $Lambda$ 的類比。

上面許多事都可以推廣到一般概形S（例如Z）上，但需要群概形的平坦性假設。在Tate和Serre關於p-Divisible group的開創性論文中有一句話：雖然p可除群本身很有趣，我們主要關心它在Abel簇理論中的應用。

一個例子是Serre-Tate theorem：S上Abel概形的形變理論=它對應的p-可除群的形變理論。簡單來說，固定概形間態射 $S ightarrow T$ 與S上對象X，X的形變即T上對象Y，使得 $Y imes_T S cong X$ （一個例子是給有限域 $Bbb F_p$ 上橢圓曲線E，尋找 $Bbb Z_p$ 上橢圓曲線使得其reduction是E，這也稱為）。考慮到完備諾特環是Artin環的逆向極限，一般只需研究無窮小形變（即 $S ightarrow T$ 是核冪零的閉浸入，如 $Bbb Z/p^2 ightarrow Bbb Z/p$ ）, Serre-Tate定理即是說有範疇等價 $Ab_R cong ext{Def}(R,R_0)$ （R上Abelian scheme 範疇 $Ab_R$ 與R_0上Abelian scheme+R上p-可除群（兩者在R_0上相容）範疇 $ext{Def}(R,R_0)$ 等價，其中 $R_0=R/I$ ，I冪零且p在R中冪零），利用Grothendieck-Messing理論（notes here）：

於是p-可除群的形變問題基本上為線性代數問題，這就給出Abelian scheme提升(or 形變)問題的一個好解答。另外不難看出如果對象模空間 $mathcal M$ 存在，無窮小提升/形變問題的解的存在性相當於 $mathcal M (A) ightarrow mathcal M(A/I)$ 是滿射，即 $mathcal M$ 是formally smooth的，而解全體對應切空間（張量I）的一維上同調。於是Tate-Serre定理表明，Shimura簇（帶結構的Abel簇的模空間）和Rappoport-Zink空間（帶結構的p-可除群的模空間）的幾何存在相似之處。

另一個例子是Faltings關於Mordell猜想的證明，其中一步是證明數域K上Abel簇的Tate猜想，方法是構造Faltings height，並說明Faltings height小於固定值的K上g維半穩定Abel簇的同構類有限（這劃歸到在其模空間上計數），以及說明從給定AV簇A出發構造的一系列與A同源（isogeny to A）的 $A_n=A/G_n$ 的高度滿足 $h(A_n)$ 一致有界，從而完成證明。而一致有界的證明就依賴於同源的Abel簇的高度有控制（isogeny formula），然後劃歸為對相應的p-可除群的Neron微分的計算，再進一步過渡到p-可除群的完備化（形式可除李群）的計算，證明中化歸到p-可除群的情況是關鍵的。

還有一個例子是p-可除群作為Tate模的代替上也帶有Galois表示（p-adic），不難想像p-可除群以及它的模空間在p-adic表示中的作用。(e.g crystalline表示，p-adic表示的形變…)

以及Fontaine關於Q上不存在處處有好約化的Abel簇的證明，其一個想法是研究Abel簇 mod p後得到的一系列有限平坦群概形，利用分類和性質導出矛盾。

總之，p-可除群和有限平坦群概形的理論是基礎而有廣泛應用的，故值得討論。作為開始，下一次我們討論基本的群概形知識以及一些證明~