Gauss與AGM(VI-Appendix)

04-20

[題圖是Legendre的著作Traité des Fonctions Elliptiques (共三卷)第一卷的扉頁，Jacobi和Abel出頭之前有關模方程的工作就出自Legendre的這本書。Jacobi和Abel都非常仔細地學習過這本書。他們二位的工作使得Legendre本人數十年的工作頃刻之間變成過時的學問，然而Legendre對這兩位年輕人卻是十分大度而寬容。諷刺的是，這與Legendre對同是後輩的Gauss的態度形成鮮明的對比。我們在前文中提及的Legendre的怒火正是為Gauss在模方程方面的工作而發。關於Legendre, Jacobi以及Abel在模方程方面的貢獻，我們建議讀者參考Roger Cooke的文章C. G. J. Jacobi, Book on Elliptic Functions以及 Ranjan Roy的書Elliptic and Modular Functions from Gauss to Dedekind to Hecke。]

我們現在要返回去解決Gauss與AGM(V-3)章末遺留下的問題。這個問題可以換一種問法：令

$egin{align}p( au)&=sum_{ninmathbb{Z}}e^{pi in^2 au}\q( au)&=sum_{ninmathbb{Z}}(-1)^ne^{pi in^2 au}\r( au)&=sum_{ninmathbb{Z}}e^{pi i(n+1/2)^2 au}end{align}$ 並且令 $k^prime=q^2/p^2,k=r^2/p^2$ , 如何求得 $k^prime( au),k^prime( au/3)$ 之間的代數關係？我們先援引Gauss在1815年的手稿中的一段文字[見Gauss全集第八卷，102頁，符號有調整。這一手稿屬於Gauss筆記的另一系列，一般稱之為Handbuche (手冊)]：

Um aus A [註： $=sqrt{k^prime( au)}$ ] abzuleiten B [ 註： $=sqrt{k^prime( au/3)}$ ], ist eine biquadratische Gleichung aufzul?sen: $(B-A)^4=4(A-A^3)(B-B^3)$ oder $(1-AB)^4=(1-A^4)(1-B^4)$ Den vier Wurzeln correspondiren $au/3,( au+2)/3,( au+4)/3,3 au$ .
從A[ $=sqrt{k^prime( au)}$ ] 導出B[ $=sqrt{k^prime( au/3)}$ ]，[意味著]解四次方程
$(B-A)^4=4(A-A^3)(B-B^3)$
或

$(1-AB)^4=(1-A^4)(1-B^4)$ .
四個根對應 $au/3,( au+2)/3,( au+4)/3,3 au$ 。

從這段話可以得知，Gauss是用橢圓模函數的性質來建立 $k^prime( au),k^prime( au/3)$ 之間的代數關係。如果解關於 $au$ 的方程 $k^prime( au/3)=x$ ，那麼我們可以找到 $Gamma_2(4)$ 的基本域中的唯一一點 $au_0$ ,使得方程所有解都可以表示為[為什麼？] $au=3 imesfrac{a au_0+b}{c au_0+d},egin{pmatrix}a & b\c & dend{pmatrix}inGamma_2(4)$

此時的 $k^primeleft(frac{3a au_0+3b}{c au_0+d} ight)$ 有多少種不同的取值呢？我們可以用 $k^prime( au)$ 在 $Gamma_2(4)$ 作用下不變來解決這個問題。當 $cequiv0pmod 3$ 時 $frac{3a au_0+3b}{c au_0+d}=frac{a(3 au_0)+3b}{(c/3)cdot(3 au_0)+d}$ ,此時 $k^primeleft(frac{3a au_0+3b}{c au_0+d} ight)=k^prime(3 au_0)$ 。當 $c otequiv 0pmod 3$ , 我們總能找到 $Gamma_2(4)$ 中的矩陣 $egin{pmatrix}S & T\c & -3aend{pmatrix}$ ,使得 $egin{pmatrix}S & T\c & -3aend{pmatrix}cdotegin{pmatrix}3a & 3b\c & dend{pmatrix}=egin{pmatrix}-1 & Td+3bS\0 & -3end{pmatrix}$ [為什麼？]此時 $k^primeleft(frac{3a au_0+3b}{c au_0+d} ight)$ 有三種取值： $k^primeleft(frac{ au_0}{3} ight),k^primeleft(frac{ au_0+2}{3} ight),k^primeleft(frac{ au_0+4}{3} ight)$ 換言之，給定 $k^prime( au/3)$ 的一個值，反解出的 $au$ 給出四種不同的 $k^prime( au)$ 的值。

我們如果令 $x=k^primeleft(frac{ au}{3} ight),y=k^primeleft({ au} ight)$ ,那麼由於給定一個 $x$ 至多只有四個 $y$ 與之對應，我們可以設 $x,y$ 之間滿足的代數關係是 $f_0(x)y^4+f_1(x)y^3+f_2(x)y^2+f_3(x)y+f_4(x)=0$ 而且我們可以將其分解為

$f_0(x)left(y-k^prime(3 au_0) ight)left(y-k^primeleft(frac{ au_0}{3} ight) ight)left(y-k^primeleft(frac{ au_0+2}{3} ight) ight)left(y-k^primeleft(frac{ au_0+4}{3} ight) ight)=0$

這樣，Gauss在手稿中所說的「四個根對應 $au/3,( au+2)/3,( au+4)/3,3 au$ 」就有了合理的解釋。可以想像，Gauss把上面的分解式展開，根據 $k^prime$ 的級數展開把每一項的係數都表示為 $x$ 的有理函數，這樣他就得到了方程

$x^4+(12y-16y^3)x^3+6y^2x^2+(12y^3-16y)x+y^4=0$

或者 $(x-y)^4=16(x-x^3)(y-y^3)$ 。

Remark: 作者在查閱的各種資料里[除Gauss全集以外]都很少有人提Gauss在手稿里的這一段記錄。Gauss的推理可以直接用來導出 $k^prime( au),k^prime( au/p)$ [ $p$ 是奇質數]之間的代數關係。Gauss自己計算了 $p=3,5,7$ 時對應的代數方程，但是他沒有繼續再探索下去。只有補上這一段工作對應的細節，我們對Gauss關於橢圓函數的工作的描述才算相對完整。

問題：我們給出的方程是 $k^prime( au),k^prime( au/3)$ 之間的關係，這個方程出現在Gauss1808年的手稿當中[見Gauss全集第十卷第一冊，307頁]。它與Gauss1815年手稿中給出的公式是等價的嗎？