Ostrowski不等式--對Cauchy不等式的誤差估計

我們熟知Cauchy不等式:

現在我們估計其精確度.

一種想法是，直接從和式變換寫出余項.

（Largrange）

或者引入參數進行估計:

（Ostrowski）對於各項不成比例的實數列an和bn ，已知實數列xn滿足:

則以下估計成立:

分析與證明如下:

先結合幾何意義考慮等號的條件:已知向量a和b不共線， 求向量x在保持與a垂直且與b的內積不變時模長的最值 ，這等價於考慮x模長一定並且與b的內積達到最值時a，b，x的關係.

二維的情形是trivial的，三維的情形下，x在與a垂直的平面內運動，最值的情形顯然是a，b，x三向量共面.由此猜想，等號的條件是x可表示為a，b的線性組合.為此我們設:

代入條件中解得:

其中A，B，C分別表示ai^2，bi^2和aibi的各項和.

結合等號條件構作不等式，不難想到由Cauchy不等式，

左右代入參數便可得到Ostrowski不等式.

條件2等號右邊的常數是可調整的，只要對原不等式做齊次化處理就可以使用.對xn取不同的值可以得到有用的估計.

例如，取 即為Fan-Todd定理.

事實上，依此法可以得到更一般的形式是:

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