黎曼球面

04-19

本文簡略介紹黎曼球面。

數學大師黎曼在數學中的重要性無人可替代。複分析只是他在數學世界眾多貢獻中的一個方面。

黎曼在復變分析領域中的工作是對柯西的重要完善和延伸。他引入的黎曼球面將無窮遠點包含在了複數的幾何圖像中。黎曼球面不僅對多值函數的研究起到重要作用，代數函數以及模函數的理論也藉此而建立。

與複數集合（指不包括無窮的複數）對應的平面是開平面。而包含無窮的平面為閉平面。

眾所周知的事情是，閉平面的與開平面是嚴格的不等同的。在直角坐標系中無法觀察到無窮的幾何圖像。黎曼創造性地引入了複數的球面表示法。使得無窮的幾何圖像得以清晰的表現。

黎曼球面，引自維基百科

黎曼將黎曼球面與複平面建立了聯繫。藉助三角形相似的幾何關係（這是眾多推導方法的其中一種），經過一系列不是很困難的推演，得到黎曼球面上的點 $(xi,eta,zeta)$ 與複平面上的點 $z=x+iy$ 的關係為

$xi=frac{z+ar{z}}{1+zar{z}}, \ eta=ifrac{ar{z}-z}{1+zar{z}}, \ zeta=frac{zar{z}-1}{1+zar{z}},$

不同階段的數學，將對黎曼曲面有不同的理解。以後將看到，黎曼球面在複數領域及微分幾何領域將大展身手。

Georg Friedrich Bernhard Riemann（黎曼），德國人，數學家，1826.9.17 ~ 1866.7.20。畢業於格廷根大學、柏林大學，導師為高斯。狄利克雷的老師。黎曼的貢獻在數學的各個領域。

黎曼的簽名，Bernhard Riemann

黎曼的代表論文

Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer ver?nderlichen complexen Gr??e (1851)

https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Grund/Grund.pdf