Maths（004）矩陣對向量做了什麼？

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開工了，每逢佳節胖三斤半的我又回來了。

從這一期開始，簡單的聊一下線性代數吧。說實話，回想當年那薄薄的一本線性代數（同濟版），真是囫圇吞棗。私以為書還是要讀大厚本，因為我是比較笨的那種人。讀幾個公式能夠做到融會貫穿，臣妾做不到啊！

1，

還是舉個簡單的例子。

x = [0;... 1];A = [1,2;... 3,4]/4;b = A*x;fig = figure(1);ax = axes(fig);ax.NextPlot = add;plt1 = plot(ax,[0,x(1)],[0,x(2)],ro-);grid onplt2 = plot(ax,[0,b(1)],[0,b(2)],bo-);axis equalax.XAxisLocation = origin;ax.YAxisLocation = origin;ax.XLim = [-3,3];ax.YLim = [-3,3];

通過直接觀察，從紅色矢量變換到藍色矢量，基本可以將變換總結為兩種形式：

a，對原有矢量進行旋轉

b，對原有矢量進行縮放

加一個點進行進一步的理解。

x = [0,1;... 1,0];A = [1,2;... 3,4]/4;b = A*x;fig = figure(2);ax = axes(fig);ax.NextPlot = add;plt1 = plot(ax,[0,x(1,1),x(1,2),0],[0,x(2,1),x(2,2),0],ro-);grid onplt2 = plot(ax,[0,b(1,1),b(1,2),0],[0,b(2,1),b(2,2),0],bo-);axis equalax.XAxisLocation = origin;ax.YAxisLocation = origin;ax.XLim = [-3,3];ax.YLim = [-3,3];

2，單純用來旋轉的A

那麼應該有一個矩陣能夠實現只旋轉不伸縮的：

x = [0,1;... 1,0];T = [cos(pi/4),-sin(pi/4);...%逆時針旋轉45度 sin(pi/4),cos(pi/4)];b = T*x;fig = figure(3);ax = axes(fig);ax.NextPlot = add;plt1 = plot(ax,[0,x(1,1),x(1,2),0],[0,x(2,1),x(2,2),0],ro-);grid onplt2 = plot(ax,[0,b(1,1),b(1,2),0],[0,b(2,1),b(2,2),0],bo-);axis equalax.XAxisLocation = origin;ax.YAxisLocation = origin;ax.XLim = [-3,3];ax.YLim = [-3,3];

3，單純用來伸縮的A

如果想要只伸縮不旋轉矢量呢？那麼這個公式大家應該很熟悉：

也就是說，需要x為A的特徵向量之一

x = [0,1;... 1,0];A = [2,0; 0,2];b = A*x;[V,D] = eig(A) %求解特徵向量，特徵值fig = figure(4);ax = axes(fig);ax.NextPlot = add;plt1 = plot(ax,[0,x(1,1),x(1,2),0],[0,x(2,1),x(2,2),0],ro-);grid onplt2 = plot(ax,[0,b(1,1),b(1,2),0],[0,b(2,1),b(2,2),0],bo-);axis equalax.XAxisLocation = origin;ax.YAxisLocation = origin;ax.XLim = [-3,3];ax.YLim = [-3,3];

V = 1 0 0 1D = 2 0 0 2

對於2×2矩陣，單純用來旋轉的矩陣T和 是怎麼關聯的？如果感興趣，請翻一下Maths（001）或許你能有答案。

MEZhang：Maths（001）e的一些概念（a）?

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