語言背後的代數學（二）：初等代數

04-18

回顧

上文中我們介紹了一個稱為「pq」的系統，並且給它選擇了一個合理的語義解釋。

我們將---q-p--解釋為「3等於1加2」。

此外，我們還知道了，解釋的方式，是隨著形式系統的公理化條件而改變的。

更改了「pq系統」的公理或者推導規則的時候，系統中公理和定理的含義都會發生改變。

為此我們回顧了幾何學中的歐幾里得第五公設問題，

看到了語義問題對數學家們造成的困擾。

自然數語言

從讀小學的時候開始，我們就認識了自然數，

我們可以從零開始計數，每個數字比它前面的多一， $0~1~2~3~4~5~6~cdots$

這些數字可以用來表示物品的個數。

它們是如此的貼近生活，如此自然，

以致我們一直以來，就把兩個不同的概念混淆在了一起。

一個概念是自然數的語法構造，屬於編碼問題，

另一個概念則是對這種語法構造的解釋，屬於語義問題。

為了看清這一點，

我們使用公理化方式定義一個自然數形式系統，為此我們要問自己這些問題。

（1）這個形式系統包含了哪些符號呢？

它只包含0~9，這個十個字元。

（2）哪些符號串是合法的？

一位符號串，或者不是0開頭的多位符號串，都是合法的。

所有這些合法的符號串，構成了一個集合，稱為該形式系統的「語言」。

（3）哪些符號串被認為是公理或定理，定理之間的推導規則是什麼？

對於自然數形式系統來說，符號串0可以看做公理，後繼函數可以看做推導規則。

（4）這些符號串的含義是什麼？

簡單起見，我們可以直接指定符號串的含義為它所對應的那個自然數。

例如，3是一個符號串，我們指定它對應 $3$ 這個自然數。

其中3是語法符號， $3$ 是數學對象。

Peano系統

上一節我們使用公理化的方式建立了一個形式系統，

並且選擇了自然數作為該形式系統中符號串的解釋。

可是在數學上，自然數到底是什麼呢？

要回答這個問題，還要回顧《你好，類型》系列文章中介紹的Peano系統，

皮亞諾（Peano）將自然數理論建立在了集合論之上。

其中， ${varnothing,varnothing^+,varnothing^{++},cdots}$ 構成了一個歸納集。

我們將 $varnothing,varnothing^+,varnothing^{++},cdots$ 定義為自然數，（von Neumann construction）

這樣每一個自然數就和一個集合對應起來了。

因此，自然數 $3$ 是一個集合， $varnothing^{+++}={varnothing,{varnothing},{varnothing,{varnothing}}}$ ，

其中， $A^+$ 為集合 $A$ 的後繼運算， $A^+=Acup{A}$ 。

總而言之，符號串3的數學解釋，是一個集合 $varnothing^{+++}$ 。

（不必驚訝。

自然數代數

在讀小學的時候，數學課只有一門，主要學有理數的四則運算，

而到了初中，數學就變成了兩門，分為代數課與幾何課，

代數課主要講方程和函數，幾何課主要講平面幾何。

平面幾何是很直觀的，也很容易和其他數學劃清界線，

因此，初中生們對「什麼是幾何」都沒有太多疑惑。

但是至於「什麼是代數」，就比較費解了，這個問題也困擾了我很久。

到大學，我們又學了線性代數，這種困擾日益加深，

因為居然出現了一種「線性的」「代數」，

卻沒有人事先告訴我們到底什麼是「代數」。

後來我們學了抽象代數，這個問題才得以解決，我找到了一個令自己滿意的答案。

為了說明「什麼是代數」，最簡單的辦法就是下定義，

設集合 $M$ 上定義了一組運算， $a_1,a_2,cdots,a_n$ ，

運算結果仍是 $M$ 中的元素，則稱 $M$ 相對於這 $n$ 個運算，構成了一個代數。

一般來說，代數問題的特點，
是對一類問題，利用統一的運算性質，求出所有可能的解答。

因此，代數學就是研究運算系統性質的學問。

而Peano系統，是最簡單的運算系統之一，又稱為一階算術系統。

自然數就是這個系統中的運算對象。

因此，小學數學也稱為「算術」。

代數學觀點

隨著代數學的發展，人們發明了許多運算系統，

例如，整數的加減法，有理數的四則運算，實數的根式或指數運算，等等。

它們都有現實的對應物，彷彿數學的研究對象就是現實世界一樣。

然而，實際上並非如此。

例如，複數 $1+2i$ ，它是沒有現實對應的，

但是我們仍然可以對複數進行運算。

一個三次方程可能沒有實數解，但必定會存在三個複數解。

引入了複數之後，我們也才能體會到歐拉公式之美， $e^{ipi}+1=0$ 。

另一方面，代數學的研究重點也發生了改變，

一開始人們研究的是單個的，獨立的，具體的運算系統，

但是後來人們逐漸發現，很多運算系統有相同的運算性質，

可以抽象出來進行討論。

例如，計算機系統中的無符號數，連同加法運算，構成了一個阿貝爾群。

而阿貝爾群中的加法，滿足交換律和結合律，

因此，編譯器就可以採用任意的順序進行計算，不影響最終結果。

從運算性質的角度來分析問題，越來越流行了，

成為了現代數學不可或缺的一部分，

並且，代數學考慮問題的方法，也逐漸影響著其他學科。

總結

本文從語義和代數學角度重新認識了自然數，

自然數是Peano系統中的運算對象，

自然數集連同其上定義的後繼運算，構成了一個代數（一階算術系統）。

更重要的是，從代數學角度來看待問題，

有利於我們抓住系統中所隱含的運算性質。

參考

你好，類型（二）：Lambda calculus

計算機語言的形式語義

近世代數初步

深入理解計算機系統

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