kkt 條件

04-18

上周我們介紹了等式約束條件下的極值問題，運用的是拉格朗日乘子法

這周我們來介紹不等式約束條件下的極值問題，也即kkt條件

考慮 $frac{y}{x^{2}+bx+1 }$ ，在 $frac{x^{2} }{4} +frac{y^{2} }{2} leq 1$ 的條件下的極大值

case1: 如果 $frac{y}{x^{2}+bx+1 }$ 的極大值在 $frac{x^{2} }{4}+frac{y^{2} }{2} leq 1$ 的內部的話，約束條件和等高線如下圖

此時的約束條件實際不起作用，也即直接求max $frac{y}{x^{2}+bx+1}$ ，等價於max $frac{y}{x^{2}+bx+1 } +lambda (frac{x^{2} }{4} +frac{y^{2} }{2} -1)$ , 其中 $lambda =0$

case2: 如果 $frac{y}{ x^{2}+bx+1}$ 的極大值在 $frac{x^{2} }{4} +frac{y^{2} }{2} leq 1$ 的外部的話，約束條件和等高線如下圖

此時，相切的時候取得最大值,即紅線取最大值

此時就變成了等式約束條件， $frac{y}{x^{2}+bx+c }$ subject to $frac{x^{2} }{4} +frac{y^{2} }{2} =1$ ,就是我們上周介紹的內容，即 max $frac{y}{ x^{2} +bx+1}+lambda (frac{x^{2} }{4} +frac{y^{2} }{2} -1)$ ，其中 $frac{x^{2} }{4} +frac{y^{2} }{2} -1=0$ , $lambda >0$

將case1和case2合在一起，用一個統一的數學公式來描述

max $frac{y}{x^{2}+bx+1}$ subject to $frac{x^{2} }{4} +frac{y^{2} }{2} leq 1$

等價於max $frac{y}{x^{2} +bx+1}+lambda (frac{x^{2} }{4} +frac{y^{2} }{2} -1)$ ,其中 $lambda geq 0$ , $lambda (frac{x^{2} }{4} +frac{x^{2} }{2} -1)=0$

所以kkt 條件沒什麼神秘的，只是兩種case的數學統一表達而已

下周我們介紹對偶問題