雙曲群（II）：指數增長性

04-18

上次我們利用Cayley圖定義了群 $Gamma$ 的word-雙曲性。詳見：雙曲群（I）：雙曲群是什麼？。簡單回顧一下：

如果對圖 $X$ 中任意三個點 $A,B,C$ 以及任意三條測地線 $[A,B],[B,C],[C,A]$ ，如果有：
$d(x,[A,B]cup [A,C])leq delta qquad forall xin[B,C]$
那麼我們稱圖 $X$ 是 $delta$ -雙曲的。

以及一些記號和定義：

給定有限生成群 $Gamma$ ，取它的有限生成集 $mathcal{S}={gamma_1, gamma_2=gamma_1^{-1}, gamma_3, gamma_4=gamma_3^{-1}, dots, gamma_{2n}}$ 。記 $|gamma|$ 是頂點 $gamma$ 到 $1$ 的距離，是 $gamma$ 用 $mathcal{S}$ 中的元素生成時的最短長度。

我期末做的報告是說：word-雙曲群 $Gamma$ 的增長序列 ${mathcal{N}_n}_{ngeq0}$ 是線性常係數齊次遞推數列，其中 $mathcal{N}_n$ 表示 $|gamma|leq n$ 的元素 $gamma$ 的個數。

為此我們需要這個「指數增長性」的工具。

1. $kdelta$ -thin Lemma

看到雙曲性的定義，是說測地線 $[B,C]$ 與測地線折線段 $[A,B]cup[A,C]$ 靠的很近。所以可以期望連接兩端的測地線與測地線折線段都靠的非常近：

給定一個 $delta$ -雙曲圖 $X$ ，對任意 $n+1$ 個點 $A_0,A_1,dots,A_n$ ，若 $nleq 2^k$ ，則

$d(x,[A_0,A_1]cup[A_1,A_2]cupcdotscup[A_{n-1},A_n])leq kdelta qquad forall xin[A_0,A_n]$

如圖所示：（證明就是反覆地用定義就可以了，如圖）

所以，如果一條路徑與一條測地線靠得不那麼近，那麼這條路徑就越不像測地線，意即路程非常長。

2.Exponential Growth Theorem

（定理名字是我自己取的，查不到的，也可見M.Gromov所著Hyperbolic Groups（Pages 75~263, in Essays in Group Theory, Springer）的184頁）

給定一個 $delta$ -雙曲圖 $X$ ， $[B,C]$ 是一條測地線， $f:[0,1] ightarrow X$ 是一條連接 $B,C$ 的路徑。若 $[B,C]$ 上有一點 $A$ 使得 $d_0=d(A,f([0,1]))geq delta$ ，則 $f$ 的長度有下界： $L_fgeq deltacdot2^{d_0/delta-1}$ 。（如圖所示）

其證明，是將 $f$ 等分成很多小段，再用很多小段的測地線來逼近。這樣的一條測地折線段可用 $kdelta$ -thin Lemma得到一個不等式，從而給出 $f$ 長度的下界。如圖：

但我還不能夠直觀地看出它就是指數增長的。

上面的那個點 $A$ 既可以在 $[B,C]$ 上也可以在 $f$ 上，然而後者的情況比前者更廣義，Gromov給出了下面這個複雜但十分有效的定理：（名字同樣是我取的，可參見第184~185頁）（但不管多複雜，都還是在說比較遠的路徑比較長）

3.Generalized Exponential Growth Theorem

給定一個 $delta$ -雙曲圖 $X$ ， $[B,C]$ 是一條測地線， $f:[0,1] ightarrow X$ 是一條連接 $B,C$ 的路徑。若 $f$ 上有一點 $A$ 使得 $d_0=d(A,[B,C])geq 20delta$ ，則對任意 $l_0in(0,d_0]$ ， $f$ 有一條子路 $g=f|_{[a,b]}:[a,b] ightarrow X$ 使得：