力學（十三）——經典力學中的幾何相：為什麼貓從高處落下會四腳著地？

04-17

從傅科擺說開去[1,5,8]

傅科擺，圖取自[5]

考慮一基準頻率 $[omega = sqrt {frac{g}{l}} ]$ 的二維平面擺，而其擺點受到地球自轉影響，自轉角速度為 $vec Omega$ ，因而這是在非慣性參考系的運動，考慮其拉格朗日量[1]:

$[L = frac{1}{2}mleft( {{{dot x}^2} + {{dot y}^2}} ight) - frac{1}{2}m{omega ^2}left( {{x^2} + {y^2}} ight) + m{Omega _z}left( {xdot y - ydot x} ight)]$

在其中我們已經略去了離心勢 $[ sim {Omega ^2}]$ ，因為 $[omega gg Omega ]$ 以及其 $z$ 分量。

其運動方程為: $[egin{gathered} ddot x + {omega ^2}x = 2{Omega _z}dot y hfill \ ddot y + {omega ^2}y = - 2{Omega _z}dot x hfill \ end{gathered} ]$ ，引入輔助變數 $[varpi = x + iy]$

得一二階常係數微分方程: $[ddot varpi + 2i{Omega _z}varpi + {omega ^2}varpi = 0]$ ，其特徵方程、特徵根為：

$[egin{gathered} {lambda ^2} + 2i{Omega _z}lambda + {omega ^2} = 0 hfill \ o lambda = - i{Omega _z} pm isqrt {Omega _z^2 + {omega ^2}} approx - i{Omega _z} pm iomega hfill \ end{gathered} ]$

因此有解: $[varpi = {e^{ - i{Omega _z}t}}left( {A{e^{iomega t}} + B{e^{ - iomega t}}} ight)]$ ，注意到括弧內是沒有地球自轉影響的普通擺運動。

現在考慮擺點運行一周，回到地球固定坐標系原點，即經過了24小時 $T=2pi/Omega$ 演化，體系獲得相位:

$[Delta varphi = frac{{2pi omega }}{Omega } + frac{{2pi {Omega _z}}}{Omega } = frac{{2pi omega }}{Omega } + 2pi cos heta ]$

第一項是由於擺本身的動力學因素導致的，稱作動力學相位；

第二項就很奇特了，這個相位並不依賴懸掛點的浸漸運動速率 $Omega$ 而是等於懸繩在球面上轉動一周所張開的立體角；這個相位稱作幾何相位。

Hannay環系統[5,8]

為了獲得浸漸系統的共有性描述，我們可以再來看一個例子[8]。

質量為m的物體在空間中一平面內的固定剛性環路中無摩擦的周期性運動，它與環上某一個固定點的距離為 $s$ ，而這個環路現在開始以 $[vec omega = {vec e_z}omega = {vec e_z}dot heta ]$ 緩慢的轉動，系統的拉格朗日量為:

$[egin{gathered} vec r = vec rleft( s ight) hfill \ L = T = frac{1}{2}m{{vec v}^2} = frac{1}{2}m{left( {dot s{{vec e}_ au } + vec omega imes vec r} ight)^2} hfill \ = frac{1}{2}mleft[ {{{dot s}^2} + {r^2}{{dot heta }^2} + 2{{left| {r imes {{vec e}_ au }} ight|}^2}dot sdot heta } ight] hfill \ = frac{1}{2}mleft[ {{{dot s}^2} + {r^2}{{dot heta }^2} + 4frac{{dA}}{{ds}}dot sdot heta } ight] hfill \ end{gathered} ]$

我們利用了 $[{{vec e}_ au } = frac{{dvec r}}{{ds}}]$ ，以及矢量叉積的模等於兩倍的掃過的面積 $A$ （exercise）。

現在，拉格朗日方程給出:

$[ddot s = frac{1}{2}frac{{dleft( {{r^2}} ight)}}{{ds}}{dot heta ^2} - 2ddot heta frac{{dA}}{{ds}}]$

注意這是預設 $dot s, s,t$ 的微分方程；這個微分方程的積分形式:

$[sleft( t ight) = {s_0} + {v_0}t + int_0^t {dtleft[ {frac{1}{2}frac{{dleft( {{r^2}} ight)}}{{ds}}{{dot heta }^2}left( {t} ight) - 2ddot heta left( {t} ight)frac{{dA}}{{dsleft( {t} ight)}}} ight]left( {t - t} ight)} ]$

下面的處理類似之前講浸漸不變數積分的方法，我們考慮到中括弧內是慢變項，求其均值 $[leftlangle {...} ight angle = frac{1}{l}int_0^l {ds...} ]$ ，其中 $l$ 是體系的周長:

$[leftlangle {left[ {...} ight]} ight angle = - 2ddot heta left( {t} ight)frac{A}{l}]$

因此浸漸運動對物體的運動貢獻是: $[ar s - {s_0} - {v_0}t = - frac{{2A}}{l}int_0^t {dtleft( {t - t} ight)ddot heta left( {t} ight)} = - frac{{2A}}{l}int_0^t {dot heta dt} = - frac{{4pi A}}{l}]$ ，其中我們用到了分部積分以及圓環的轉動時浸漸打開的: $dot heta(0)=0$ ,之後會提到，對應的共軛角變數：

$Delta omega=-frac{8pi^2A}{l^2}$ ，注意在等周約束下，這個角變數取得極值 $-2pi$ ，說明圓形環的轉動對系統沒有影響。這個不依賴轉動的角變數，也是幾何相位的一個體現。

可積系統的幾何相位——Hannay角

我們現在終於有能力從上面兩個例子中獲取有關幾何相位的靈感：

首先，我們這兩個例子的「基底」都是可解的:對於傅科擺，平面擺的解是我們熟知的；而約束曲線運動的解是勻速運動，這就更加熟知了。而附加在這個可解系統上的擾動總是浸漸的，這自然而然的讓我們想到這樣一個相位和浸漸不變數之間的關係；我們現在去尋找這樣一個幾何相位。

先考慮最簡單情況：考慮一含參系統 $H(p,q,lambda)$ 是保守系統，守恆量為 $E$ ；在固定 $lambda$ 時，我們寫出如下的生成函數:

$[{S_0}left( {q,E;lambda } ight) = int {pleft( {q,E;lambda } ight)dq} ]$

做 $[left( {p,q} ight) o left( {I,omega } ight)]$ 的正則變換( $I$ 的定義參見本專欄浸漸不變數相關章節)，變數之間如此聯繫:

$[p = {left( {frac{{partial {S_0}left( {q,E;lambda } ight)}}{{partial q}}} ight)_{E o I}}]$ ,

$[omega = frac{{partial {{left[ {{S_0}left( {q,E;lambda } ight)} ight]}_{E o I}}}}{{partial I}}]$

注意到這個生成函數不顯含時間，對於體系是trivial的，新哈密頓應當就是老哈密頓做 $[left( {p,q} ight) o left( {I,omega } ight)]$ 的替換，新變數的哈密頓方程給出:

$[left{ egin{gathered} dot I = 0 hfill \ dot omega = frac{{dEleft( I ight)}}{{dI}},Eleft( I ight) = H{left( {p,q} ight)_{left( {p,q} ight) o left( {I,omega } ight)}} hfill \ end{gathered} ight.]$

因此 $[egin{gathered} I = const = {I_0} hfill \ omega = frac{{dE}}{{dI}}t + const = omega left( I ight)t + {omega _0} hfill \ end{gathered} ]$

注意到 $S_0$ 是一個多值函數， $q$ 跑遍 $n$ 周期它就增長， $[Delta{S_0} =n int {pdq} = 2npi {I_0}]$ 如此定義的 $Delta omega=2npi$ . 此討論很容易提升到多變數.

現在我們升級難度， $lambda=lambda(t)$ ,現在生成函數是顯含有時間 $t$ 的，新的哈密頓為:

$[H = Eleft( {I;lambda } ight) + frac{{partial {S_0}}}{{partial t}} = Eleft( {I;lambda } ight) + {left[ {{{left( {frac{{partial {S_0}}}{{partial lambda }}} ight)}_{q,I}}} ight]_{left( {q,I} ight) o left( {I,omega } ight)}}dot lambda ]$ ,偏導數的右下標表示求偏導中的不變的量；

引入 $[Lambda equiv {left( {frac{{partial {S_0}}}{{partial lambda }}} ight)_{left( {q,I} ight) o left( {I,omega } ight)}}]$ ,新的哈密頓方程寫作:

$[egin{gathered} dot I = - {left( {frac{{partial Lambda }}{{partial omega }}} ight)_{I,lambda }}dot lambda hfill \ dot omega = {left( {frac{{partial E}}{{partial I}}} ight)_lambda } + {left( {frac{{partial Lambda }}{{partial I }}} ight)_{omega,lambda }}dot lambda hfill \ end{gathered} ]$

在一個周期內的運動給出: $[Delta omega = int_0^T {frac{{partial E}}{{partial I}}dt + int_{lambda left( 0 ight)}^{lambda left( T ight)} {{{left( {frac{{partial Lambda left( {I,omega ;lambda } ight)}}{{partial I}}} ight)}_{omega ,lambda }}dlambda } } ]$

注意，現在第一項是所謂的動力學相位，第二項就是所謂的幾何相位，原因是顯而易見的.

現在 $Lambda$ 中還有路徑依賴的可能,現在將其中的角變數平均掉，即考慮第二項的平均（記為 $Delta omega_H$ ）:

$[ar Lambda left( {I;lambda } ight) = {leftlangle {Lambda left( {I,omega ;lambda } ight)} ight angle _omega } = frac{1}{{2pi }}int_0^{2pi } {Lambda left( {I,omega ;lambda } ight)} domega ]$

從而 $[Delta{omega _H} = frac{partial }{{partial I}}int_{lambda left( 0 ight)}^{lambda left( T ight)} {ar Lambda left( {I;lambda } ight)dlambda } ag{1} ]$

考慮參數空間的封閉路徑，我們有:

$[Delta {omega _H} = frac{partial }{{partial I}}oint {ar Lambda left( {I;lambda } ight)dlambda } ag{2}]$

類似於熱力學中 $F,S,p$ 關係，我們有新舊系統的聯繫關係:

$[{left( {frac{{partial {S_0}}}{{partial lambda }}} ight)_{omega ,I}} = {left( {frac{{partial {S_0}}}{{partial lambda }}} ight)_{q,I}} + {left( {frac{{partial {S_0}}}{{partial q}}} ight)_{lambda ,I}}{left( {frac{{partial q}}{{partial lambda }}} ight)_{omega ,I}} = {left( {frac{{partial {S_0}}}{{partial lambda }}} ight)_{q,I}} + p{left( {frac{{partial q}}{{partial lambda }}} ight)_{omega ,I}}]$

於是 $[Lambda = {left( {frac{{partial {S_0}}}{{partial lambda }}} ight)_{q,I}} = {left( {frac{{partial {S_0}}}{{partial lambda }}} ight)_{omega ,I}} - p{left( {frac{{partial q}}{{partial lambda }}} ight)_{omega ,I}}]$

注意第一項在(1)中是表面項,而在(2)中被循環消去;我們有:

$[Delta {omega _H} = - frac{partial }{{partial I}}oint {{{leftlangle {pdq} ight angle }_omega }} ]$

這容易被推廣到多變數情況[8].

討論

我們看到，系統內在的、局部的周期性變化 $lambda_i$ ，最終會體現在整體的相位上；在參數空間上周期性變化，進而讓系統的取向（相位）發生的變化，被叫做異和樂(anholonomy)，有時又與和樂(holonomy)相混淆。[2]

內部變化的變形體：為什麼貓從高處落下會四腳著地？[2，6，7]

人在水裡游泳：身體的周期性變化進而導致了凈的平移[4]，我們想到，貓在重力作用下下墜，也應當是一個類似的過程；即系統相對整體的平移和轉向，都來自一個周期性的參變過程——參數空間的周期性運動，導致了其上矢量的偏轉，進而映射至實際空間給出了有效的整體運動。

實際上我們可以這樣或那樣去建模一個貓[6,10]，均是用兩個剛體:

圖片來自[6]

圖片來自[10]

前面的討論應用至剛體系統是簡單的，可以參見[5-7]。我們下面做出更為形式化的討論：

考慮一剛體，固在其上的參考軸 $M_b$ （省去矢量符號）的歐拉方程為:

$[{{dot M}_b} = {{ M}_b} imes {{vec omega }_b}]$ ,這可導出一個詮釋:

考慮現實空間中: $[M(t) = Rleft( t ight){M_o}left( t ight)]$ , $R(t)$ 就構成了物理的整體轉動，顯然，每個軸都轉動，即 $Omega[M_o]$ ，對應固定系是不動,對於 $R$ 則構成了變換:

$[ ilde Rleft( t ight) = Rleft( t ight){Omega ^{ - 1}}left[ {{M_o}left( t ight)} ight]]$

考慮轉動滿足下面的關係（對比歐拉方程）

$[Rleft( {t + dt} ight) = Rleft( t ight)I + Rleft( t ight)Adt]$

定義出了 $A(t)$ ，而: $[Rleft( t ight) = mathcal{T}left[ {exp left[ {int_0^t A left( {t} ight)dt} ight]} ight]]$ 注意到此時選取『時間』僅僅是選取參數，因為如果 $[t o au left( t ight),dt o dot au left( t ight)]$ ，重新定義 $[A o frac{A}{{dot au }}]$ 上面的式子就會不變。

考慮固定的基底，例如歐拉角表象，有:

$[egin{gathered} Rleft( 0 ight) = Rleft( T ight) hfill \ Mleft( t ight):gamma = mathcal{P}exp left[ {oint {Ad{M_0}} } ight] hfill \ end{gathered} ]$

物體整體的行動依賴於 $A$ ，而 $A$ 僅僅是定義在 $M_0$ 中的，和物體自身形變有關的。

注意到現在那些每個軸都轉動的變換，對於 $A$ 構成了:

$[A = Omega A{Omega ^{ - 1}} + Omega { abla _omega }{Omega ^{ - 1}}]$ ，其中 $omega$ 是 $M_0$ 中選取的參量；這可以算作是一個微分幾何的引子。

2002年在一次演講中我曾經說：「20世紀物理學有三個主旋律：量子化、對稱性與相位。」21世紀的物理學也將會建築在這三個主旋律的基礎上。三者不單構成了今天物理學的基礎，更形成了今天工業技術發展的主要動力。——楊振寧，2012，於[2]中序。

Exercise:

自旋——生而拓撲？

理解[9]中的2.3章節或者

淺斟低唱：路徑積分（四）-從SU(2)群誘導自旋的路徑積分量子化?

zhuanlan.zhihu.com

理解自旋的相干路徑積分中Berry相不依賴哈密頓量的實質；對三能級系統（不是自旋）做一個推廣。

應用於統計力學？

這個理論有沒有統計上可以觀測的效應？

量子力學中的Berry Phase?

淺斟低唱：絕熱微擾論、貝瑞相與量子系統的拓撲性質?

zhuanlan.zhihu.com

超導量子電路中的幾何相位？

在超導量子電路中如何實現幾何相位[11,12,13]，如何探測幾何相位帶來的物理後果？

幾何量子計算？

能否利用量子系統的測地線演化，從而能夠以高保真度實現量子門[14]？

以上習題都是我瞎扯的。

附一則關於本專欄的說明：

由於升學壓力（大三了英語還沒考+很有可能失學的心理負擔。。），以及興趣轉移（經典力學學不動了），本專欄停更到申請季結束，我們明年見！

參考文獻:

[1]朗道，《力學》

[2]李華鍾，《量子幾何相位概論——簡單物理系統的整體性》，科學出版社，這是本文的主要參考資料，得知李華鍾教授已於2018年1月29逝世；RIP.

[3]A.Bohm,etc, The Geometric Phase in Quantum System:Foundations, Mathematical Concepts, and Applicaitons in Molecular and Condensed Matter Physics, Springer

[4]Alfred Ahspere, Frank Wilczek, Geometric Phases in Physics, Advanced Series in Mathemtifcal Physics Vol.5, World Scienctific

[5]Dariusz Chruscinski, Andrzej Jamiolkowski, Geomitric Phases in Classical and Quanutm Mechanics, Progress in Mathematical Physics

[6]C. Hartmann, The falling cat problem and shape effects in small molecules in a

random environment: a case study,https://doi.org/10.1080/00268976.2013.831956

[7]Richard Montgomery, Gauge Theory of the Falling Cat, DOI: 10.1090/fic/001/09

[8]鞠國興，《朗道<力學>解讀》，高等教育出版社

[9]文小剛，《量子多體理論》

[10]TR.Kane ,A dynamical explanation of the falling cat phenomenon,DOI:Redirecting

[11]Roushan, P., Neill, C., Megrant, A., Chen, Y., Babbush, R., Barends, R., … Neven, H. (2017). Chiral ground-state currents of interacting photons in a synthetic magnetic field, 13(October 2016). Chiral ground-state currents of interacting photons in a synthetic magnetic field

[12]Koch, J., Houck, A. A., Hur, K. Le, & Girvin, S. M. (2010). Time-reversal-symmetry breaking in circuit-QED-based photon lattices. Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics, 82(4), 1–18. Time-reversal-symmetry breaking in circuit-QED-based photon lattices

[13]Petrescu, A., Houck, A. A., & Le Hur, K. (2012). Anomalous Hall effects of light and chiral edge modes on the Kagome lattice. Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics, 86(5), 1–22. Anomalous Hall effects of light and chiral edge modes on the Kagome lattice

[14]Paolo Zanardiab, etc, Holonomic Quantum Computation, Physics Letters A,DOI:https://doi.org/10.1016/S0375-9601(99)00803-8