關於相互作用場的處理（一）

目錄：

量子場論（0）

量子場論（1）

量子場論（2）

量子場論（3）

量子場論（4）

量子場論（5）

量子場論（6）

本次內容：討論處理相互作用場時會出現的問題。

1，正則(反)對易關係：

正則對易關係最早出現在量子力學中： ，很顯然對於有界運算元 ，故沒有有界運算元滿足這個對易關係式， 和 在這裡都是無界自伴運算元。在量子場論中，自由場通常滿足正則（反）對易關係，那麼在處理相互作用場時，場算符還會滿足正則對易關係嗎？

自由費米場遵循正則反對易關係，即：

；

對於 時空上滿足Wightman axioms 費米場 ，有如下定理：如果場算符 滿足正則反對易關係。存在酉運算元 ，使得 ，且對於 定義： 。那麼，這裡的結論是： 滿足關於時間的一階微分方程： ，也就是說 一定是自由費米場。

也就是說：對於時空維數 的情況，滿足正則反對易關係的費米場一定是自由場。這個定理的證明參見 Robert T. Powers 的工作。

下面我們討論標量場，給定 ，自由標量場 與其對應的動量密度 遵循如下正則對易關係 ：

； 。

類似與量子力學中處理CCR algebra的情況，我們也可以定義酉運算元群： 與 ，將其寫成Weyl CCR algebra的形式： ，不過這裡我們要求其關於參數弱連續。

這時，對於標量場，我們有如下結果：如果滿足CCR，那麼對於 的時空，其一定是自由場。如果滿足Weyl CCR ，那麼 的時空，其一定是自由場。

2，相互作用表象：

在有限自由度量子力學中，相互作用表象是非常重要的概念。那麼當我們將相互作用表象應用到無窮自由度的量子場論中，會出現什麼問題呢？

在之前的討論中 我們證明了，量子場論系統的哈密頓量唯一決定了Fock表示及其上的vacuum。 而在相互作用表象中，時間演化算符為： ，相應的我們有： ，這裡 與 被認為是作用在同一個Fock space上，然而，這顯然是不允許的。在量子場論中相互作用表象是不自恰的，更進一步的說，一切以相互作用表象作為基礎的結論都是存在問題的，例如：相互作用表象的一個重要推論：S矩陣，其定義為： 。在微擾論中我們可以將其展開為Dyson級數進行計算。

另一個依賴與相互作用表象的重要例子是Gell-Mann-Low定理，我們下面來推導這個公式。記相互作用情況的vacuum為 ，而自由場的vacuum為 。我們在式子 中插入 的完備性條件： 。當我們選取參數 時，上式右邊第一項將遠遠大於後面的項。則：

，將 平移 一個有限的 後 可得：

；

。

利用如上推導，我們可以將相互作用場的編時格林函數寫為：

這個公式左邊是相互作用場的編時格林函數，右邊是自由場的指數展開，由此我們可以通過自由場來計算相互作用場。然而，這個公式一開始的假設就是錯誤的，很明顯的它需要用到相互作用表象。另一方面，在推導中我們假設 ，即兩個vacuum有交疊，這也是不正確的。

3，一個存在問題的思路：

正如上面所討論的，面對相互作用問題，我們常見的處理方法是存在問題的。但是如果我們先將這些問題擱置在一邊，還是按照原有的思路去計算，物理上會不會出現問題呢？

類似與量子力學中關注單個電子在某種勢場中的運動，量子場論中也有一類有代表性的實驗，一堆相對論性粒子的散射問題，即：一開始我們製備一堆無相互作用的粒子，經過長時間的運動它們在某個有限的區域內發生相互作用，在相互作用完成後又經過很長時間的運動，最後我們得到另一堆無相互作用的粒子。在實驗中我們關心兩個物理量：

衰變率： ；

微分散射截面： 。

我們要使用量子場論中的公式來求出這兩個量，而其中存在的待定量就是 我們稱之為散射振幅。而與散射振幅相聯繫的就是S矩陣，具體來說有如下關係式：

；

。

也就是說，我們在理論上計算的就是S矩陣，而S矩陣則可以展開為編時乘積，正如我們之前所討論的 那樣：

根據這個公式，結合Wick定理，我們就可以逐階近似計算出 。另一方面，Gell-Mann-Low定理給出了編時格林函數的微擾計算方法，由此我們也可以通過LSZ約化公式來得到S矩陣的矩陣元。利用如上思路，我們可以處理量子電動力學中的很多低階的近似過程，即：用拉氏密度 描述的量子場論系統。這樣看來我們忽略理論的不自恰性似乎沒有什麼太大的影響。不過，當我們考慮更高階的近似時，我們會發現在我們的計算結果出現了實質性的發散現象，而這在物理上是不允許的。

綜上所述，一方面我們處理相互作用的理論本身就是嚴格不自恰的，另一方面，當我們忽略理論的不自恰性而直接用這些方法去計算時，我們會碰到物理上不能接受的發散（其實，正如我們之後所要討論的，這裡還可以加上場論中路徑積分測度的不存在性）。為了解決這些問題，我們需要討論量子場論的重整化問題，這正是量子場論（無窮自由度情況）與量子力學最大的不同之處。

（所有圖侵刪）

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