採用均值極差法進行GRR分析時，計算GRR%所用到的TV值應如何確定?

04-16

GRR分析是測量系統分析（MSA）的項目之一，用於評價測量系統的重複性和再現性對測量結果的影響。這個影響的大小可以由GRR%的值來體現。AIAG的MSA手冊介紹了幾種GRR分析的方法，其中的均值極差法（Average and Range Mothod）由三個檢測人員用同一個測量設備對10個樣品分別進行三次測量，根據測量結果，採用下圖（圖1）中所給出的公式來計算測量系統的GRR%是否滿足要求：

圖1

其中，GRR%的計算公式如下：

公式1

在這個公式中，AV和EV分別代表由測量人員和測量設備產生的變差，它們可以用圖1模板中的公式計算得到；TV是總變差，但它的計算公式不是一塵不變的，不應一直採用圖1模板中TV的計算公式，而是應該基於不同的測量目的採用不同的公式，這個在MSA手冊第4版的73頁中有提到（如下圖2所示）：評價測量系統的GRR時，根據不同的測量目的有兩種不同的方法。當測量的目的是產品控制的時候，GRR%的計算應基於產品的規格限，即公式1中的TV由規格限決定；當測量的目的是過程式控制制的時候，GRR%的計算應基於過程的控制限，即公式1中的TV由控制限決定。

圖2

這篇文章將討論一下在用均值極差法進行GRR分析時，為什麼GRR%的計算應根據上述兩種不同的測量目的使用不同的TV值，以及如何計算這個TV值。

我們先來看一下測量的目的。在一個生產過程中，測量的目的可分為產品控制（例如將產品根據規格限分為合格/不合格，或將產品分為一等品、二等品和次品。另外監控某些過程參數是否設置在規格範圍內，也可以視為產品控制，即過程參數在規格限範圍內生產的產品是合格的，反之是不合格的）和過程式控制制（SPC）。其中過程式控制制通常又包括兩個目的：過程能力和過程表現的監控（例如監控Cpk值是否達到1.33），以及過程是否存在特殊原因的監控（例如監控控制圖中是否存在數據點超出了+/-3sigma範圍）。接下來按以下順序就這三種情況

1）測量的目的是為了監控過程能力和過程表現

2）測量的目的是為了監控過程是否存在特殊原因

3）測量的目的是為了產品控制

分別討論一下GRR該如何評價，以及TV值該如何計算。

1. 測量的目的是為了監控過程能力和過程表現

當測量的目的是為了監控過程能力和過程表現，即Cp, Cpk, Pp和Ppk這些參數時，對測量系統GRR的要求是能夠儘可能真實的反映製造過程的能力和表現。以下以Cp為例，看一下測量系統的GRR如何影響這些參數。

AIAG的SPC手冊中給出的Cp的計算公式如下：

公式2

其中的 $sigma$ 是過程的變差。這個變差是通過測量系統觀察到的變差，所以由此計算的Cp也是通過測量系統觀察到的Cp。觀察到的過程變差 $sigma$ 包括了兩部分：過程本身的真實變差 $sigma_{1}$ 和由測量系統引起的變差 $sigma_{2}$ (如下圖所示），其中 $sigma_{2}$ 由測量系統的GRR決定的，即 $sigma_{2}$ =GRR。

圖3

根據正態分布的性能，可以得出

公式3

所以真實的過程Cp1和觀察到的過程Cp的關係可以表達為

公式4

從這個公式可以看出當GRR/ $sigma$ 越小的時候，觀察到的過程Cp也就越接近真實的過程Cp1。所以當以監控過程的能力和過程的表現為目的的時候，評價測量系統的GRR是否滿足要求，應評價的是GRR相對於觀察到的過程變差 $sigma$ 是否足夠小。因此計算GRR%時候，公式1中的TV應是觀察到的過程的變差 $sigma$ ，即GRR%的計算公式應為

公式5

當GRR%<10%的時候，根據公式4可以看出，GRR對測量結果的影響小於1%，觀察到的Cp與真實的Cp1基本相同，所以測量系統的GRR可接受，這是AIAG的MSA手冊中以<10%為GRR%接受標準的原因。

接下來看一下如何確定公式5中的 $sigma$ 以計算GRR%。這個可以分為兩種情況。一種情況是在進行GRR分析的時候製造過程已經有建立控制限（例如對一個已經量產中的生產線的測量系統進行一年一次的GRR分析時），在這種情況下， $sigma$ 是控制限的1/6，即

公式6

另一種情況是在進行GRR分析的時候製造過程的控制限尚未建立（例如在過程設計開發階段進行過程能力研究的時候），在這種情況下， $sigma$ 可以通過GRR分析時所測量的樣品來獲得，

公式7

這個公式中的分母即為圖1模板中用於計算TV的公式，其中PV是所測量樣品的Parts Variation。為了確保公式7中的分母將等於過程在建立控制限以後的 $sigma$ ，GRR分析時選擇的零件應該能夠覆蓋整個製造過程處於穩定受控狀態時的範圍，即PV反映的是製造過程在穩定受控狀態下的真實變差 $sigma_{1}$ ，否則的話，這個GRR分析的結果將對建立控制限以後的過程沒有參考意義。

2. 測量的目的是監控過程是否存在特殊原因

當測量的目的是監控過程是否存在特殊原因的時候，對測量系統的要求是盡量減少誤判。AIAG的SPC手冊中給出了8條判定過程是否存在特殊原因的準則，如下所示：

圖4

其中第一條是在進行SPC時必須要實施的，其它是可選項，所以以下的討論將基於第一條進行。

在實施這條準則時，需要監控控制圖中是否有數據點落於上下控制限（UCL和LCL）以外，如下圖中圓圈內的點超出了控制限，表示過程存在特殊原因，需要採取措施來消除特它。

圖5

為保證不引起對是否存在特殊原因的誤判，需要測量系統能準確的測出數據點是處於控制限以內還是以外。

來看一下這個錯誤判定的概率有哪些因素決定。假設有個數據點它的真實值為X，UCL>X>LCL，測量系統的偏移為0，重複性和再現性為GRR，則由這個測量系統測量這個數據點所得到的測量結果，將按照下圖中的藍色曲線分布（以X為平均值，GRR為標準偏差的正態分布）。當測量結果處於黑色陰影區域時（這個區域包括兩部分，低於LCL的區域和高於UCL的區域，但高於UCL的區域太小，圖中無法標識出來），測量結果超出了控制限，即測量系統誤報了過程存在特殊原因。

圖6

上圖中陰影部分面積的大小，代表了誤判概率的大小。對於某個特定的X，誤判的概率取決於X相對上下控制限的位置，這個可以在測量系統的GPC（Gauge Performance Curve）中反映出來。下圖的藍線是一個偏移為0的測量系統的GPC，圖中縱坐標的值P表徵的是對於某個X值，測量系統將其判定為在控制限範圍內的概率。所以當 $X leq LCL$ 或者 $X geq UCL$ 時，P即為誤判的概率，而 $LC Lleq X leq UCL$ 時，1-P為誤判的概率。可以看出，X越接近上下控制限，誤判的概率越高（當X=UCL或LCL時，誤判概率最高為0.5）。由正態函數的性質可以得出，當X的值偏離LCL或者UCL超過3個GRR的時候，誤判的概率將降到0.135%以內，誤判概率很低，所以可認為不會出現誤判。因此檢測產生的誤判區域（下圖7中的陰影部分）的寬度由GRR決定。

圖7

對於一個處於穩定狀態的製造過程，所有採集的數據點會以正態分布的形式出現（如下圖的藍線所示）。

圖8

圖7中已經說明了誤判區域在UCL和LCL兩側3GRR範圍內，所以對於這個正態分布的過程來說，誤判的概率取決於LCL和UCL的3*GRR範圍內的數據點相對於所有採集的數據點的比例。而這個又將取決於GRR相對於 $sigma$ 的寬度。GRR相對於 $sigma$ 越小，可能出現誤判的數據點的比例也越小。所以當需要監控過程中是否有數據點落於上下控制限以外的時候，評價測量系統GRR是否滿足要求應該評價的是GRR相對於 $sigma$ 是否足夠小，即GRR%計算公式也應為公式5

公式5

而 $sigma$ 的計算，也是根據情況可以選擇公式6或7。

在圖8中，當GRR%<10%，即 $sigma$ /GRR>10的時候，誤判區域內的數據點的比例少於0.6%（查正態分布表，可得2.7 $sigma$ 和3.3 $sigma$ 範圍內的概率是0.6%），所以滿足這個準則時，因為測量系統GRR引起的誤判的可能也就很低了。

3. 測量的目的是為了產品控制

當測量的目的是為了產品控制時，跟第二種情況很類似，對測量系統的要求也是應儘可能減少誤判的概率。這裡我們以測量的目的是判定產品合格/不合格為例進行討論。在這種情況下，跟圖7的情況類似，誤判的區域將會處於LSL和USL的3*GRR範圍內（如下圖9陰影部分所示）。