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數學課堂筆記

【常微】證明開普勒行星運動三大定律

04-16

上常微的時候，老師突然講起了行星三大定律的證明。驚恐之餘我還是老老實實的把證明再寫一遍，以加深印象。突然發現好像很好證的樣子（。

我們只需要用到一點點叉乘求導求積的知識和常微的思想，三大定律很快就被證出來了。

先讓我們看看需要證明的東西：

$1^。$ 所有行星繞太陽的軌道都是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。

$2^。$ 行星和太陽的連線在相等的時間間隔內掃過相等的面積。

$3^。$ 所有行星繞太陽一周的恆星時間的平方與它們軌道長半軸的立方成比例，即 $frac{T_1^2}{T_2^2}=frac{a_1^3}{a_2^3}$ 。

令 $vec{R}$ 為太陽到行星的向量，且 $vec{R}=rvec{u},r=|vec{R}|,vec{u}$ 為單位向量,則有

$-Gfrac{mM}{r^2}=mR^{}$ , $R^{}$ 為求二次導，即加速度

（為了打字方便，以下R均代表向量R）

第一步：易得 $Rparallel R$ , 則 $(R imes R^{})^{}=R imes R+R imes R=0$

$Rightarrow$ $R imes Requiv vec{c}$

第二定律即得證。

第二步：已知： $R=rvec{u^{ }}+rvec{u^{}}$

$0=(vec ucdot vec u)=2vec{u^{ }}cdot vec{u}$ $Rightarrow vec{u^{ }}ot vec{u^{}}$

則有 $R imes vec c=R imes(R imes R)$

$=R imes (rvec u imes (rvec{u^{ }}+rvec{u^{}}))$

$=-Gfrac{M}{r^2}vec u imes(rvec{u^{ }} imes rvec{u^{}})$

$=-GMvec{u^{}}$

$stackrel{mathrm{積分}}Rightarrow$ $R imes vec c=-GM(vec u+vec k)$

第三步： $Rcdot(R imes vec c)=rvec u GM(vec u+vec k)$

$=GMr(1+|k|cos heta)$ , $heta=angle(vec u,vec k)$

而 $(R imes vec c)cdot R=(R imes R)cdot vec c$

$=ccdot c$ $=c^2$

由點乘性質我們知道他們是相等的。

第四步：設 $a$ 為橢圓的長半軸，由第三步我們可以算出太陽與行星的距離 $r$ 的表達式，

$r=frac{c^2}{GM(1+|k|cos heta)}$ ,而這其實是橢圓的極坐標方程。

故第一定律得證.

則有 $2a=r_{max}+r_{min}$

$=frac{vec {c^2}}{GM}(frac{1}{1-|vec k|}+frac{1}{1+|vec k|})$

$=frac{2vec{c^2}}{GM(1-|vec k|^2)}$

我們知道，面積等於周期乘以單位時間內掃過的面積，由此可以寫出T與a的關係：

$Rightarrow$ $T=frac{2pi}{sqrt{GM}}a^{frac{3}{2}}$ ,即證得第三定律.

（單純用物理公式也能直接推出來，且是在將 $a$ 看成圓半徑的情況下）

Q.E.D

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