導數、偏導、次梯度關係

04-16

導數(Derivative)

導數一般針對一維情況。對於多維，一般是指方嚮導數、偏導數(沿某個方向)或梯度。梯度為變化最大的方嚮導數。

是微積分中的重要基礎概念。當函數 $f(x)$ 的自變數X在一點 $x_0$ 上產生一個增量 $Delta x$ 時，函數輸出值的增量 $Delta y$ 與自變數增量 $Delta x$ 的比值在 $Delta x$ 趨於0時的極限 $a$ 如果存在， $a$ 即為在 $x_0$ 處的導數，記作 $f(x_0)$ 或 $a=df/dx_0$ 。

如果一個函數在 $x_0$ 處可導，那麼它一定在 $x_0$ 處是連續函數。函數可導定義：

設 $f(x)$ 在 $x_0$ 及其附近有定義,則當 $a$ 趨向於0時, 若 $[f(x_0+a)-f(x_0)]/a$ 的極限存在, 則稱 $f(x)$ 在 $x_0$ 處可導。
若對於區間 $(a,b)$ 上任意一點 $(m，f(m))$ 均可導，則稱 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可導。

偏導數(partial derivative)

設有二元函數 $z=f(x,y)$ ，點 $(x_0,y_0)$ 是其定義域 $mathcal{D}$ 內一點。把 $y$ 固定在 $y_0$ 而讓 $x$ 在 $x_0$ 有增量 $Delta x$ ，相應地函數 $z=f(x,y)$ 有增量 $Delta z=f(x_0+Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)$ 。(稱為對 $x$ 的偏增量) 。如果 $Delta z$ 與 $Delta x$ 之比，當 $Delta x ightarrow 0$ 時的極限存在，那麼此極限值稱為函數 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 處對 $x$ 的偏導數。記作 $f_x(x_0,y_0)$ 。

導數和偏導沒有本質區別，都是當自變數的變化量趨於0時，函數值的變化量與自變數變化量比值的極限。

一元函數，一個 $f(x)$ 對應一個 $x$ ，導數只有一個。
二元函數,，一個 $f(x,y)$ 對應一個 $x$ 和一個 $y$ ，那就有兩個導數了，一個是 $f(x,y)$ 對 $x$ 的導數，一個是 $f(x,y)$ 對 $y$ 的導數，稱之為偏導。

梯度、全微分、法向量

梯度與曲線的切向量垂直，即梯度方向是法向量方向。討論梯度與切向量、法向量的關係時，切法向量均是對曲線來說的，而不是整個曲面的法向量。因為梯度的維度比曲線的維度低，這是需要記住的。

設 $u=u(x,y,z)$ ，首先三維中梯度的定義是 $abla u$ = $ieu/ex+jeu/ey+keu/ez$ ，它是一個向量。梯度是變化最大的一個方嚮導數，可以稱梯度為最大方嚮導數。

全微分 $du=(eu/ex)dx+(eu/ey)dy+(eu/ez)dz$ ，是用坐標的微小增量 $dx$ 、 $dy$ 、 $dz$ 表示函數 $u$ 的增量，是一個表達式，和矢量無關，也和切線無關。

下面來說明梯度為什麼和切向量垂直。

設曲線 $x=x(t)$ ， $y=y(t)$ ， $z=z(t)$ 是曲面 $u(x,y,z)=c$ 上的一條曲線（ $c$ 為常數， $u(x,y,z)=c$ 表示等值面），由於該曲線在曲面上，所以 $x=x(t)$ ， $y=y(t)$ ， $z=z(t)$ 滿足方程 $u(x,y,z)=c$ ，即 $u(x(t),y(t),z(t))=c$ ，利用複合函數求導法則，方程兩邊同時對t求導數，得(eu/ex)*x『(t)+(eu/ey)*y『(t)+(eu/ez)*z『(t)=0，所以向量 $(x(t),y(t),z(t))$ 與向量 $(eu/ex,eu/ey,eu/ez)$ 垂直。而向量(x(t),y(t),z(t))表示曲線的切向量，向量(eu/ex,eu/ey,eu/ez)表示梯度，所以梯度和切向量垂直。

次梯度

外法向量和內法向量

外法線指向曲面外側，內法線指向內側。所以考慮切點P處的法線，可以在曲面內側取一點Q，那麼，如果法線方向和向量PQ的夾角大於90°，可以判定其為外法線，反之為內法線。當然，也可以取曲面區域外側的點進行判斷，道理一樣。

max 和 sup

一個集合的上確界sup和最大值max是兩個不同的概念，區別在於任意一個有界實數集一定存在上確界sup(確界原理)，但是不一定存在最大值max。但是如果存在最大值max，一定等於上確界sup。

例如集合(0,1)，它的上確界sup是1，但是不存在最大值max。也就是說，如果你不知道一個集合是否能取到最大值，那就不要用max，用sup即可，sup是萬能的。