關於在坐標系中旋轉平移物體的理論基礎解析

關於在坐標系中旋轉平移物體的理論基礎解析

寫在前面

前幾日固體物理老師講了一大堆關於坐標變換的內容，聽的也是稀里糊塗。又和同學討論了一下如果一個物體圍繞坐標系中任意軸進行旋轉，那麼該如何計算其的旋轉矩陣？於是思考了一會我就想出了一個自認為比較完善的方法，那就是將一個複雜的旋轉操作拆分成幾步基礎旋轉操作，然後依次寫出旋轉矩陣後按照順序相乘即可。

其實這也是一種比較常見的做法，但因為是自己探索到的，所以就對此比較上心，為了能夠將其表現得更加形象直觀，我也決定利用MATLAB和Python將其實現。

旋轉矩陣的理論解釋

因為這一段公式可能會比較多，所以我就直接放截圖了，這樣子也比較方便。

以上我們得到了三個旋轉矩陣，分別是繞x軸旋轉，繞y軸旋轉，繞z軸旋轉，下面我們開始定義操作。

定義旋轉操作

旋轉單次

我們定義：

• 繞x軸旋轉為操作A;
• 繞y軸旋轉為操作B;
• 繞z軸旋轉為操作C。

如果一個物體R想要繞x軸旋轉t角度，得到一個新的物體位置R，我們可以寫為

R = A(t)R

其中R與R就是坐標向量，A與R之間是向量乘法，A(t)代表的是繞x軸轉角度t。

當然，一個物體不可能只有一個坐標點，如果存在多個坐標點R1,R2,R3，那麼就一一乘上A(t)即可，也就是R1=A(t)R1, R2=A(t)R2, R3=A(t)R3，最後得到新的物體的三個坐標點R1, R2, R3。

連續多次旋轉

如果我們想讓這個物體首先繞x軸旋轉角度t1，然後再繞y軸旋轉角度t2，再繞z軸旋轉角度t3，那麼我們該怎麼寫？

我們一步一步看，首先是繞x軸旋轉角度t1，公式為R=A(t1)R。此時旋轉後的物體的坐標是R。

然後是繞y軸旋轉角度t2，公式為R=B(t2)R。此時旋轉後的物體的坐標是R。

最後是繞z軸旋轉角度r3，公式為R=C(t3)R。此時旋轉後的物體的坐標是R。

也就是說後一個操作是對當前物體的坐標進行操作。

那麼我們兩個兩個看，聯立前兩個，先繞x軸t1角度再繞y軸t2角度，公式為R=B(t2)R=B(t2)A(t1)R。從公式中看這兩步操作實際上是對R乘了兩個矩陣B(t2)和A(t1)，這樣就變成了R。

注意，操作按照先後次序，右邊的矩陣為先操作，左邊的矩陣為後操作。

那麼同理我們可以得到旋轉三次後的坐標R=C(t3)B(t2)A(t1)R。

同理，如果存在多次操作，我們只需要按照順序不斷的左乘旋轉矩陣就好。

進階操作

不繞xyz軸旋轉，過原點繞任意軸進行多次旋轉

如圖，我們要將物體繞著直線z=y按右手方向旋轉30度，這種情況就相對比較複雜了，因為它並不是xyz軸，所以我們旋轉時有以下三步操作：

• 將坐標系進行旋轉操作，令$z=y$與原z軸重合，原z軸操作後的位置為z軸；
• 將物體繞z軸按右手方向旋轉30度；
• 將坐標系進行旋轉操作，令z軸與原z軸重合。

正如上圖，左邊為原坐標系，右邊為繞x軸旋轉45度後的新坐標系，其中旋轉過後的坐標係為xyz，我們想要繞著轉的直線（原z=y）現在變成了z軸，那麼這樣子就變成了繞z軸旋轉的情況。

所以我們將繞x軸旋轉坐標系的操作記為A(45)，所以物體現在的坐標為$R=A(45)R$。

之後我們就可以將物體繞z軸右手方向旋轉30度了，操作記為B(30)，所以現在物體的坐標為$R=B(30)R$。

但是此時我們的坐標系還是以原z=y為z軸的坐標系，我們需要把z軸轉過來，變成最初的那個樣子，所以我們需要把坐標系繞x軸旋轉-45度，這樣子z就和z重合了，z=y也回到了原來的位置。

所以這一步操作記為A(-45)，物體現在的坐標為R=A(-45)R。

最後總的來說，這個物體從最初的狀態到最後的狀態相當於進行了三步操作，乘上了三個矩陣，即R=A(-45)B(30)A(45)R.

圍繞軸不經過原點的旋轉-初級

上面的方法全部都要經過原點，但如果我們想要圍著轉的對稱軸不經過原點呢？這就要多加一個操作了，那就是給坐標加上個某一個值，比如我有坐標向量(x, y, z)，想要向x軸平移1單位，那麼新的坐標就變成了(x+1, y, z)，相當於進行了如下操作

(x, y, z) = (x, y, z) + (1, 0, 0)

所以我們這裡定義一個新操作D(a,x)。其中a代表沿著位移方向的軸，方向只有三個，xyz。x代表的是唯一的距離，比如說上述操作就可以寫為D(x,1)，總的公式為R=R+D(x,1)。

圍繞軸不經過原點的旋轉-高級

我們現在要將一個物體R繞著z=y-1這條線為軸右手方向旋轉30度。其實步驟依舊和上面一模一樣，只不過將z=y-1轉到z軸上更為麻煩了而已，主要分為以下步驟。

首先將z=y-1平移到經過原點，也就是將坐標軸向y方向平移-1個單位，即操作D(y,1)，平移後的物體坐標為R=R+D(y,-1)。

然後就是之前舉的例子了，我們直接可以寫得(我用R2代替R，以此類推)

R2=A(45)R

R3=B(30)R2

R4=A(-45)R3

最後到了這裡我們還得把z=y-1移到原來位置，也就是再加上一個D(y,1)操作，也就是

R5=R4+D(y,-1)

這樣子，我們就可以實現任何操作

總結

可以看出，我們最終達到實現任何操作的步驟為三步

1. 將我們想要旋轉的軸通過旋轉與平移操作將其與任一坐標軸重合；
2. 進行我們想要繞著旋轉軸旋轉的操作；
3. 將旋轉軸通過旋轉與平移操作移動到原來的位置。

並且我們的基礎操作總共有4個，其中三個旋轉一個平移，分別為：

• 繞x軸右手方向旋轉t角度記為A(t);
• 繞y軸右手方向旋轉t角度記為B(t);
• 繞z軸右手方向旋轉t角度記為C(t);
• 沿某一軸(記為a軸)正方向平移x距離記為D(a, x)。

這樣子我們得到的坐標就是我們實現了當前操作的坐標。

下一篇文章講利用編程實現這些操作。