關於態矢空間

04-15

這篇文章寫給初學量子力學的朋友，澄清一些基本概念。其實這些問題都很簡單，只不過當時沒有人直接告訴我，所以當時困擾了我很久

￣へ￣。

我會儘力去寫的清楚一些，不會涉及任何formal的概念。如果有問題或者發現錯誤的話麻煩在評論區告訴我，多謝了。

1，態矢空間是Hilbert space？

一般的物理教材中我們所說的態矢是只放到狄拉克符號裡面的東西，例如：任意態矢 $| psi angle$ ；某個算符的第 $n$ 個本徵矢 $| psi_n angle$ ，動量算符本徵矢 $| p angle$ 等。但這些東西構成一個Hilbert space $H$ 嗎？

答案是否定的，Hilbert space是完備的內積空間。更具體的說，我們首先有一個複數域上的矢量空間，其次在上面定義內積使之成為內積空間，最後我們要求內積是完備的（有限維時可以略去完備性，因為有限維內積空間一定完備）。簡單的分析就可以發現， $| p angle$ ， $| psi_n angle$ 這些東西放在一起，連矢量空間都不構成，它們放在一起只是一個沒有任何結構的集合。原因也很簡單，因為平方可積函數怎麼線性疊加也疊加不出平面波 $e^{-ipx}$ 。那麼，量子力學公理中所說的：「量子態表示為複數域上Hilbert space中的單位矢量」這句話該如何理解呢？

一般來講，公理中所說的Hilbert space是平方可積函數空間 $L^2(R^3,C)$ ，即滿足 $(psi,phi)=int_V psi^* phi dV<+infty$ 的函數 $psi:R^3 o C$ 的集合。這實際上就是束縛態波函數的集合。但你可能要問了？為什麼 $|p angle$ 和 $|x angle$ 不在Hilbert space中呢？一個不太清晰的答案是：它們並沒有實際的物理意義，並不是嚴格的量子態，所以不在Hilbert space中。當然我們後面會詳細的說明它，就物理上看，束縛態和散射態的處理方法本身就是完全不同的。

2，束縛態和散射態有什麼區別？

經過上面的分析我們可以發現，對於某個具體的量子力學系統，所有的束縛態構成了一個Hilbert space，而散射態（非平方可積函數）並不在Hilbert space中。這個問題該如何理解呢？其上只要知道了束縛態和散射態在物理上的區別，這個問題也很好回答。

（1）束縛態：束縛態在物理上是如何操作的呢？我們考慮某個自伴運算元的本徵值問題，例如： $hat{H}psi_n=E_npsi_n$ ， $L^2$ 中任何態矢都可以用其本徵矢的線性疊加表示為： $psi(x,t)=sum_{n=0}^{infty}{c_npsi_n}e^{-frac{i}{hbar}E_nt}$ ，而我們對這個系統進行測量得到的本徵矢 $psi_n$ 與力學量值 $E_n$ 的概率就是係數的模方： $|c_n|^2=|left( psi,psi_n ight)|^2$ 。

（2）散射態：散射態在物理上的操作與束縛態是完全不同的，故相應的態矢不再Hilbert space中也很好理解。對於散射態我們關注的是散射截面以及衰變率，而與散射態之間相聯繫的並不是散射態中的態矢，而是S-矩陣 $S_{alphaeta}$ 。也就是說，束縛態和散射態在物理上處理的方式本來就是不同的，散射態重點關注的並不是態矢本身而是散射算符 $S$ （或者說S-矩陣），它並不依賴內積 $left( psi,psi_n ight)$ 來產生物理結果。

3，如何理解非平方可積的「態矢」？

經過，上面的討論我們知道，公理中的Hilbert space並不包含散射態，散射態和束縛態的處理方法本來就是完全不同的，那麼諸如散射態之類的態矢究竟該怎麼理解呢？

一般來說，對於Hilbert space $L^2$ 上位置算符 $hat{x}$ 或者動量算符 $hat{p}$ 這樣只有連續譜的無界自伴運算元，它們是沒有本徵矢的，更準確的說，對於本徵方程： $hat{p}psi=ppsi$ ，我們可以找到它的解 $psi$ ，但 $psi$ 並不在Hilbert space中。而 $hat{x}$ 的「本徵矢」連函數都不是。對於這類「態矢」的處理，我們可以引入distribution來描述，具體細節可以參考GTM267三四章以及附錄A.3.3。

使用狄拉克符號時，我們一般會把 $| x angle$ ， $| p angle$ ， $|psi_n angle$ 放在一起，並且用一些操作來管理他們。但在面對實際問題時，束縛態和散射態本身就是完全不一樣的，把它們放在一起僅僅是一個集合而已，部分教材中稱的「態矢的Hilbert space」是完全錯誤的。

至於物理上這麼做有什麼好處吧，我還真想不出來有啥好的，貌似只是把這些東西放在一起了而已。不過呢，既然大家都這麼用，那麼就必須熟悉這套操作和記號了，只要自己心裡清楚要注意的問題就好。

（圖侵刪）