為什麼說「概率」帶來一場現代革命？

作者：Vamei，嚴禁任何形式轉載。

概率是生活中平常不過的概念。我們用概率來量化某種結果的可能性。日常生活中常見到概率。成功有概率，體育比賽的勝負有概率，彩票中獎也有概率。概率就是「概率論」這門學科研究的核心。不過，像概率這樣「日常」的概念，是在16世紀文藝復興時才成為數學家研究的課題。

最先研究概率論的是一位名為卡爾達諾的數學家。他研究了一個概率問題：

扔兩個骰子，總和為10的概率有多大？

扔骰子這個遊戲，大家常玩。骰子是一個方塊，六個面各有一個數字，從1到6。扔出去一個骰子，那麼出現六個面中任意一個面的概率相同，因此每種結果的概率就是1/6。

扔兩個骰子算總數時，總數概率就不一樣了。直覺上來說，總數為2的概率會很小。只有兩個骰子都為1這一種結果時，總數才能為2。我們把這樣的兩個骰子的結果記成（1，1）。總數為10的概率要高一些，包括了（5，5）、（4，6）、（6、4）三種結果。在桌游《卡坦島》中，每塊兒土地有一個從2到12的數字。玩家通過扔兩個骰子決定那塊兒土地產出資源。從下圖看到，7號包含的結合總數，比2號大得多。在總共36種結果中，總數7對應了6種結果，概率是6/36，大約是16.7%。總數2隻對應了1種結果，所以概率就是1/36，大約為2.8%。

我們看到，兩個骰子的概率問題解決起來很容易，根本不需要高深的數學知識。但這個問題直到16世紀才被卡爾達諾搞明白。當時正值 「文藝復興」的時代。卡爾達諾的父親，就是「文藝復興」最著名畫家達·芬奇的朋友。歐洲掌握了火藥和印刷術，即將走入現代。放眼世界，哥倫布已經發現了美洲。中國進入到倒數第二個封建王朝：大明。日本已經結束了戰國，進入最後一個幕府時代，也就是江戶幕府。經過兩千年的發展，數學家已經發明了非常複雜的數學工具：歐氏幾何、代數方程、三角函數。詭異的是，看起來簡單的概率論，到了這麼晚的時間才誕生。

概率論誕生得晚，有一種技術性的解釋：古代人製造骰子的技藝不精。就拿古羅馬人來說，根本就沒有六個面方方正正的骰子。人們賭博時用的，都是動物身上略顯方正的關節骨，比如豬肘的骨頭。由於表面不規則，不同結果出現的概率起伏很大，概率問題根本無從研究。然而，古人在金屬加工方面的水平並不算低。既然能造出精美無雙的首飾，那就完全有能力製作一個均勻的骰子。因此，這個純粹技術性的解釋很難服眾。

概率論誕生的根本阻礙，其實在於信仰。古人認為，事情的結果是神的安排。生意成功時，認為得到了財神保佑。地震發生，認為是觸怒了老天。正是基於這樣的信念，古人才會用求籤和抽牌的隨機方式，來窺探天意。抱著這樣的信念，所謂的概率研究不但荒謬，而且有褻瀆神靈的嫌疑。就以歐洲為例，從古羅馬末期到文藝復興，基督教擁有的權力甚至超過了國王。基督教認為上帝全知全能，安排了一切事情的結果。如果有個數學家宣稱，數字就能代表結果的可能性，那上帝可真要無處安放了。

文藝復興正是以理性挑戰神權的時代，為隨後的宗教改革奠定了基礎。歐洲正是經過了文藝復興洗禮，才擺脫了宗教的束縛。所以，概率論的誕生，必須以文藝復興這樣一場思想解放為前提。卡爾達諾解決的概率問題非常簡單。他甚至在現代初中生就能解答的問題上犯錯，比如「扔3個骰子，至少出現一次6的概率」。但他無疑引領了一次思想革命。數學家自己也意識到概率論思想的危險性。卡爾達諾在表述概率想法時就小心翼翼，並且明確表示不能排除上帝的作用。事實上，在卡爾達諾逝世幾十年後，伽利略重拾骰子問題時，也在論文里盡量避免「概率」和「隨機」之類的字眼。

無論如何，概率誕生了。為了贏錢，賭徒們可不在乎上帝。他們開始拿著賭場的問題求助於數學家。早期的概率問題就和賭博結下了不解之緣。費馬和帕斯卡兩位數學家就聯手解決了一系列的賭博問題。其中一個有名的問題，是在一場未完成的賭局中，賭徒應該怎樣分贓。拿一個簡單的例子來說明。兩個賭徒搖兩次骰子，約定以兩次骰子總和來比大小定輸贏。第一輪，有人搖出5，另一個人搖出1。搖出5的人歡欣雀躍，搖出1的雖然沮喪但也盼著下一輪來翻盤。如果這個時候賭局停止，兩人應該怎樣分錢才公平。平分當然不公平。在第一輪已經完成的情況下，搖出5的賭徒應該有更大概率贏得第二輪。因此，這個人會期望自己分到更多的錢。

費馬和帕斯卡通過數學計算了每種結果出現的概率，再用概率來計算出每個人應該分到的錢。通過特定的數學方法，人們可以計算出對未知的「期望」。「期望」很快應用在興旺的航海業中。當時的西歐國家都在全面投機航海業。帆船從亞洲、美洲、非洲運來大量貨物，創造著巨額利潤。可如果船沉了，投資人的錢就全虧了。有了「期望」這樣的概率工具，商人可以計算出預期收益，最終決定入股哪艘航船。可以說，兩位數學家為「股權投資」這一現代金融形式鋪平了道路。 說到底，概率論研究的是未發生的事情。在盈利性投機的金融活動中，越多了解未來，就越能賺錢。

既然能賺錢，上帝就不那麼重要了。商人們聚集在阿姆斯特丹、巴黎和倫敦的交易所，狂熱地用數字來揣摩上帝對未來的安排。在投入實用的同時，概率依然充滿了神秘色彩。在概率計算的第一步，數學家依然在使用經驗性的假設，卻無法說清為什麼。為什麼均勻骰子一個面的結果和另一個面的骰子相同？為什麼硬幣證明的概率是1/2？這些看似簡單的問題，卻涉及到了概率本質，甚至威脅到概率論的進一步發展。在這個危機關頭，數學家又一次出手，挽救了概率論。

雅克布·伯努利是來自伯努利家族的「數二代」。伯努利提出了 「大數定律」。伯努利認為，在試驗不變的條件下，重複試驗多次，隨機事件的頻率近似於它的概率。換句話說，伯努利用頻率解釋了概率。如果你確定骰子拋出1的概率，那就成千上萬次地扔出骰子，並記錄結果1佔總實驗次數的比例。 「大數定律」去處了概率最後一分「玄學」色彩，讓概率變成了像物理化學那樣的實驗學科。

在日常生活中，我們會在潛意識中把「頻率」和「概率」聯繫起來。常聽說東京地震的新聞，卻不常聽說上海地震，那上海地震的概率自然比東京的高。伯努利只是用嚴格的數學語言，更清楚地說明了「頻率」和「概率」的關係。但千萬不要小看「大數定律」。以這條數學定律為基礎，概率論的大廈才能繼續施工。這裡舉一個簡單的應用，就是計算圓周率。一個半徑是1的圓，它的面積就是圓周率。這個數字從3.1415926……開始，小數點後會有無限位。中國數學家祖沖之的偉大成就，就是通過複雜的幾何方法，計算出了圓周率的後面的第七位。

但根據「大數定律」，我們可以用一種玩遊戲的方法算出圓周率。我們找一個正方形的場地圍起來。正方形變長是2。正方形中再畫一個半徑為1的內切圓，如下圖所示。我們往這個場地中隨機地丟沙包，並記下圓形中沙包和扔出沙包總數的比值。當我們扔越來越多沙包時，比值就會越來越趨近於圓周率的1/4。也就是說，困擾古人數千年的圓周率計算問題，可以通過丟沙包來算出無限高的精度。

「丟沙包計算圓周率」的方式之所以成立，就在於「大數定律」。沙包會隨機地出現在場地的任意一點，那沙包入圓的概率是圓形面積和方形面積的比值，也就是圓周率的1/4。另一方面根據「大數定律」，當我們扔的沙包越來越多的時候，結果中沙包成功進入到圓形的頻率，會越來越趨近該情況的概率。因此，我們最終用扔沙包獲得的頻率，獲得了包含在概率中的圓周率。 祖沖之的時代還沒有概率的思想，想不到用這種簡單的方法來計算圓周率。另一方面，這種名為「蒙特卡羅方法」的計算方式，已經是天氣預報、金融博弈、航天器設計等領域不可或缺的工具。

如今，概率論已經是中學時就會接觸的數學知識。但概率論的簡單公式，記載了一場思想革命。在這場革命中，沉默的數學家用數字向上帝宣戰，把「未來」從上帝那裡轉交到每個人的手上。這場革命不但改變了社會的面貌，也徹底改變了人的思想。