技術觀察二 - Elo rating system

Elo是由Arpad Elo發明的，最早是用來優化國際象棋評估棋力的一種方法。很顯然，象棋比賽以前是個輸贏積分制，贏的比輸的積分拿的多，目前大部分體育賽事，甚至還是如此，比如足球比賽，well，這是另一個有趣的問題，主要原因是因為具備相同競技實力的足球隊數量過少，elo評估演算法在這種情況下和輸贏積分制應該是近似的，而後者顯然算起來更簡單，也更容易投注，這裡就不展開了。

採用輸贏積分制帶來的一個問題是，你無法及時的評估實力相對變化情況，尤其是弱勝強的場景。以國際象棋為例，弱者A戰勝強者B時，很可能A的實力在此刻已經逼近甚至超越B，這時候從棋力來講，應該大幅度提高A的排名，而傳統的輸贏積分制顯然做不到這一點，你從傳統的積分數據榜上無法解讀出A的實力已經逼近B的這個場景的表達，而Elo就可以。

Arpad Elo首先用了正態分布的累積分布函數來評估一個人的勝率（棋力）：

我們假設

x=Ra-Rb=D，也即a,b選手的rank分差；位置參數u=0，則上述公式可以簡化為如下：

然而，這個公式用來評估棋手的表現並不準確，經過多次模擬，Elo改成了Logistic distribution，和正態函數很類似，但是峰更陡，尾部更沉。

所以我們就得到了如下2個公式：

A對B的勝率

B對A的勝率

在電影《社交網路》里，Eduardo給Mark Zackburg免費貢獻的公式，其實就是elo。

假如棋手A獲勝了，則他的積分要加多少呢？

Ra = Ra + K(Sa - Ea)

Ra代表新的分值，Ra是原有的分值；

Sa代表一位棋手在圍棋比賽中的真實得分，勝=1分，和=0.5分，負=0分；

K 值代表理論上最多可以獲得的贏分或者失分，國際象棋大師賽中，對於大師選手為16，對於一般選手是32，也是大部分遊戲的取值。通常水平越高的比賽中其K值越小，這樣做是為了避免少數的幾場比賽就能改變高端頂尖玩家的排名。

那麼，勝率評估公式里的400是怎麼來的？可以推算得知，當K值相同的情況下，越高的分母，越低的積分變化。總體來說400是一個較為平衡的值，讓玩家積分保持Logistic distribution，詳細可以閱讀這篇文章：

http://en.chessbase.com/post/arpad-elo-and-the-elo-rating-system

One more thing：

這個公式用到遊戲是根據場景優化的，比如在賽季初的天梯，可以加大K值，在高分段的玩家中，可以加大K值，營造競爭激烈的感覺。