Kelly公式——投資倉位的烏托邦

John Kelly是著名的貝爾實驗室的研究員，主要工作是做人聲編碼器，簡單地說就是怎麼最方便地讓電話那邊的人聽到你在說什麼（儘管你們現在都在發微信了）。後來他鼓搗出了人類歷史上第一首完全由電腦合成的音樂，震驚整個geek界，庫布里克還專門在《2001：太空漫遊》里放了這首歌。

如果Kelly是一個認認真真搞電子音樂的朋克中年，我們大概也就沒什麼機會講到他了。但是顯然他沒有。他思考了一個問題，如果大家去賭馬，我們有確切地消息認為其中一匹馬，我們叫它小蓉吧，有很大的機會獲勝，那麼我們應該投多少錢去押小蓉？

在這裡需要插播一下，就是整個風險管理的歷史和賭博史幾乎是同一段歷史，裡面的有趣故事我們會在風險小史欄目中給大家呈現（歡迎關注公眾號：有金有險）。按道理來說，似乎我們把所有的錢都投到小蓉身上，能獲得最大的收益，但要是小蓉帶著錢跑了，不對，要是小蓉輸了，那投的錢就全部沒得了。那麼到底投多少錢合適呢？Kelly想出來一個公式：

賠率就是我們押一塊錢能賺多少錢回來，剛剛經歷了歐洲杯，大家都懂的。如果賭馬的規則是我們押一塊錢只要押對了就賺一塊錢（賠率是1賠1），押錯了就虧掉所有本金，那麼這個公式的分子部分，實際上就是我們對這次賭博的預期收益。也就是說如果我們的預期是合理的，那麼這個公式就衡量了預期收益在賭注收益中的佔比，一個理性的人只應當為自己的合理預期買單。而假如我們知道小蓉獲勝的概率是60%，那麼用這個公式算，其實直接就變成了獲勝概率減去失敗概率，也就是說我們應該用20%的本金來賭小蓉贏。而很顯然，只有在獲勝概率為100%的時候，我們才會把所有的錢都投注到小蓉身上。

這個思路很顯然也可以移植到投資上。當然對於股票投資而言，我們不可能一次就虧完所有的本金（當然有槓桿另當別論），如果我們每次有p的概率盈利，那麼盈利後我們的資金額就是本金×（1+盈利率*投資比例），而相反當出現1-p的虧損概率時，我們虧損後的資金額度為本金×（1-虧損率*投資比例）。作為股市的長期投資者，我們的目標是總收益的幾何平均值最大，於是就可以得到下面這個結果：

這個式子就是著名的Kelly公式。而世界上第一隻真正意義上的對沖基金普林斯頓-新港（Prinseton-Newport）就是靠凱利公式的策略賺的盆滿缽盈：

Kelly推出這個公式的原始意義在於，解釋打撲克的時候記牌有多大的作用，即每個人通過牌面上的牌，來估計別人手中的牌，從而推測自己取勝的概率。對於投資來說，這意味著我們獲取信息的能力是我們財富的直接來源。在上面那個公式里，虧損額和收益額實際上就是我們交易的止損邊界和止盈邊界，依據歷史數據，我們可以推測市場中一個信號的收益分布，並依據收益分布邊界值的概率，來確定投資比例。

Kelly公式用比例投資的方法成功地使得財富增長趨勢變成幾何形態，而在大部分的模擬計算中，Kelly公式的投資倉位選擇也都能取得更好的投資表現。

但是在實際運用里，Kelly公式卻又有很多麻煩。比如我們以Kelly公式規定的頭寸來投資，會顯著加大我們交易的波動性，為了避免這樣的波動，投資者往往會以低於Kelly公式計算結果的比例進行投資，其結果就是需要花更多的時間來實現預期收益率。而如果我們的投資標的又恰好有比較高的波動率，比如一個是收益率15%而波動率為30%的股票，另一個是7%年利率的存款，用Kelly公式我們可以算出，如果要把90%的錢都投到股票上，那麼要讓總收益超過7%的概率達到95%以上，需要10286年。所以雖然信息雖然能賺錢，但是其實時間更值錢呀。

總體而言Kelly公式的好處和壞處我們可以這樣總結：

本意在於拯救賭馬少年的John Kelly一不小心就搞出了可能是資金管理歷史上最著名的公式，這或許並非他的本意，但還是幫助無數投資者認識到了信息的精確性對於投資成敗的重要意義。我們在實際工作中很難直接使用Kelly公式作為我們的投資決策依據，但這並不妨礙其作為一個倉位管理的參考標的，就好像物理學裡真空狀態下的球型雞一樣，美好的東西總是令人嚮往的。
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