Libor Market Model 簡介2 ——分離波動率函數和校準（一部分）

04-13

前言：

對，這個問題離說完還差很遠。建模，校準，產品，風險，這些東西是一套的。當然繼續寫下去是有契機的。那天剛剛寫完上一篇，本專欄聯合編輯之一 @消毒紙巾同學提到了Cap波動率的校準問題。雖然已經被業界大佬精闢地給出了方向，然而這個問題還是要寫一些的。

正文：

what&why：

在上文構造tenor structure的Libor 率過程的時候我們僅僅給出了Libor過程約化形態的測度變化：

$egin{align} &dL(t,T) = ~sigma_TdW^{T+ au}_t \&dW^T_t = ~dW^{T+ au}_t - frac{ ausigma_T}{1+ au L(t,T)}dt end{align}$

問題出在這個 $sigma_T$ 是個什麼鬼？為了回答這個問題，我們需要回到HJM框架下尋找這個（堆）約化參數所對應的結構模型。由此可見HJM框架的重要性，他能保證各類產品之間結構的一致性。（題外話，Q系有兩大內功：「手術刀」（分解資產），「搭積木」（資產結構）。接下來這套屬於「搭積木」的內容）：

還是回到HJM 模型框架（又稱元模型）和一般的利率過程有什麼本質區別？這個問題下貓那個答案。我們一直了Bond Price在HJM下的dynamic：

$dP(t,T)=r_tP(t,T)dt-sigma^*(t,T)P(t,T)dW_t$

我們把當初Libor率定義的右半部份定義為「遠期債」：

$P(t,T,T+ au) = P(t,T+ au)/P(t,T)$

那麼這個遠期債的dynamic為（對 $1/P(t,T)$ 使用伊藤定理後用伊藤乘法）：

$dP(t,T,T+ au) /P(t,T,T+ au) = -[sigma^*(t,T+ au) - sigma^*(t,T)]sigma^*(t,T)dt - [sigma^*(t,T+ au) - sigma^*(t,T)]dW_t$

熟悉HJM框架的童鞋會看出來這是個 $Q^T$ 鞅，於是：

$dP(t,T,T+ au) /P(t,T,T+ au) = - [sigma^*(t,T+ au) - sigma^*(t,T)]dW^{T}_t$

那麼跟Libor定義（其中 $L(t,T)$ 沿用上一篇遠期單利的定義：

$1+ au L(t,T) =frac{P(t,T)}{P(t,T+ au)}$

我們有：

$dL(t,T)= frac{1+ au L(t,T)}{ au} sigma^*(T,T+ au)dW^T$

這個波動率部分就是 $sigma_T +frac{ ausigma_T}{1+ au L(t,T)}dt$ (想想為什麼）

其實邪道第三部的時候問題就很明顯了，累計波動率 $sigma^*$ 是短期率波動率的積分，而短期率的波動率是不可觀測到的。這個問題LMM和HJM下都會遇到。因此我們需要一套特殊的參數化方法去「偽造」一個波動率函數。否則根本無法校準（或者只能校準到約化的模型上，不要再問為什麼僅僅是約化不行，去讀上篇）

可分離函數：

為了技術上校準的方便AP中採用了如下形式：

$sigma_T =lambda(t) varphi(L(t,T))$

AP中表示，對於 $varphi$ 不要糾結這些技術細節，這些東西就是為了結果校準方便。只需要滿足一些非常基本的條件比如李普希茲連續(這不是什麼」虛假的假設「，一個利率的波動率要是不李普希茲連續了，那想想都可怕），使用者就可以用自己的經驗函數。AP中給出了一組常用經驗函數，比如lognormal就用x，CEV用x^p等。

接下來為了引用方便，貓選會選用AP當中的notation。我們把第n期遠期單利表示為：

$L_n(t) =L(t,T_n,T_n+ au)$

那麼我們試算一下兩個不同期之間遠期單利的方差（交互變差）：

$d<L_k(t),L_j(t)> =z(t)varphi(L_k(t))varphi(L_j(t))lambda_k(t)lambda_j(t)dt$

其中 $z(t)$ 可以是任何一種波動率過程，所以上述分離函數可以套進任何隨機波動率模型下

那麼自然的相關性就有：

$corr(dL_k(t),dL_j(t)) =frac{<dL_k(t),dL_j(t)>}{sqrt{<dL_k(t)>,<dL_j(t)>}}$

由於波動率被我們分離掉了，而隨機乘數部分不影響相關性，所以我們有：

$corr(dL_k(t),dL_j(t))=frac{lambda_k(t)lambda_j(t)}{||lambda_k(t)||~|| lambda_j(t)||}$

波動率校準問題在這個時候被巧妙轉化成了估計不同期限結構下相關性的問題。

處理相關性：

一般我們在獲得貼現率曲線後（這個所有利率產品的標準校準依據，當然也是最優先的校準目標。我們的LMM需要用到這些先期的校準結果），我們可以根據價格和LIBOR的關係畫出遠期率曲線（也就是libor curve）。我們需要在這個tenor structure上校準出相關性的參數。

(題外話，關於是先對貼現率曲線插值再轉LIBOR曲線，還是先求出LIBOR曲線點再對其插值這個貓並不清楚）

一般處理期限結構的相關性有兩種方法：參數和非參

參數法：

一些結果如Coffey[2000], Jong[2001] ，Rebonato[2002]給出了一些光滑期限結構估計方法，其中一種是假設了如下函數：

$Corr(dL_k(t), dL_j(t)) =q_1(T_k-t, T_j-t)$

其中q函數為：

$egin{align} q_2(x,y)& = ho_infty(min(x,y)) +(1- ho_infty(min(x,y)))exp(-a(min(x,y))|y-x|) \a(z)& =a_infty +(a_0 -a_infty)e^{-kz} end{align}$

我們令 heta為全部參數，那麼校準的目標函數為：

$heta^* =argmin_ heta left{tr[(R-R_2( heta))R-R_2( heta))^T] ight}$

其中R2為q_2計算出的模型相關矩陣，R樣本相關性矩陣

關於參數法的缺點，就是傳統那些過擬合，欠擬合，這裡不多表述。（實際上6個參數想過擬合很難，一般會欠擬合。不過考率到LIBOR曲線也不是那麼複雜，6個參數擬合的結果不會太壞）

非參法：

對高度相關的期限結構相估計的一個傳統方法是使用PCA（主成分分析）對期限結構進行聚類，在Hull里利率一章提到過，在這裡因為tenor structure也是一種期限結構，所以可以採用相同的方法。

對於一條足夠光滑的遠期曲線，已經可以使用PCA了，步驟就是標準那套：

1.中心化

2.svd

3.取前幾個成分（正交的線性組合）

完成之後，取前m個主成分來解釋大部分方差。

PCA在此處的兩種使用方法：

在這之後第一種利用上面結果處理相關性的方法就是：不處理。因為主成分之間互相正交，所以但我們去LIBOR的線性組合主成分進行估計是，可以不用處理相關性。

是的，主成分分析法的一個最大優點就是巧妙的避免了處理相關性的參數。

此外，其金融上也有明顯意義，因為一般對期限結構的前三個主成分都代表了明確的利率曲線變化方式，如「平動」（shifting），「撬動」（twisting），「彎曲」（bowing）。因此該方法被大量應用在期限結構的降維和解釋上。

但其缺點有，1.我們只是採用了幾個成分，他們並不能完全代表所有tenor structure； 2.LIBOR的線性組合不一定適用於上文的 $varphi$ ,除非在一些簡單的假設下比如lognormal。

第二種利用方法稱為correlation PCA，我們先對相關性矩陣R做如下分解：

$R=E(YY^T)$

其中Y服從標準正態分布的變數（注意並沒有以要求一定是chol分解）

然後我們做如下近似分解：

$Y approx DX$

其中D是p×m(p為變數數，m<p）矩陣，X為m×1，元素服從標準正態的向量。這一步相當於對相關性矩陣做了一個降維。 AP里給出了如下優化技術結果，令：

$h(D;R) =trleft{ (R-DD^T)(R-DD^T)^T ight}$

為優化目標函數，則最優D矩陣為：

$D^* =argmin_D h(D；R) ,~~subject~to ~diag(DD^T)=1$

由於X和Y都是標準正態分布矩陣，這裡的DD^T達到了一種對R很好的近似，並且降低了相關性矩陣的維度。

AP中還給出，如果給出方程： $diag(D_mu D_mu^T) -1 =0$ 的向量解 $mu^*$ 。則滿足該解的的最優 $D_{mu^*}$ 可通過優化：

$D_mu =argmin_D h(D; R+diag(mu))$ 給出。

由於貓優化不懂，不會，沒學過，所以這裡有望高人指點。

如果有一個或多個續集，將繼續介紹具體在產品在LMM下的建模和更加多的校準細節

正文結束

吐槽和罵人：

文中反覆提及的書AP名叫《Interest Rate Modeling》，AP是作者的縮寫。文中所有內容都是第二冊第十四章LMM部分的。這（三）本書被視為利率建模的百科全書，可入門，可進階，可深入，可前沿。什麼前沿？沒錯，因為利率方面建模其實已經非常完善了，近幾年真的沒有出現什麼特別新的成果了。更多的是些choice of collateral這類特定業務相關的東西。也而這本書內容很全面，所以可以認為是前沿了。

所以對於這部分內容黑貓不想罵什麼，校準本身就是一個模型得以應用的最重要的一部分，如果這都有人叫」理論「，那基本跟貓一樣，甚至比貓還小學生了。

最後，按照慣例，希望這些」被時代淘汰的虛假理論"能幫助一些從業者和學習者。