範疇論學習筆記20：伴隨

04-13

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這份筆記基於Julia Goedecke 和 E.L. Cheng 為 Peter Johnstone 在劍橋大學的講座所做的筆記。這次筆記只能當作一些重要概念的梳理，不適合用來學習。

定義1（D.M. Kan）

設 $F:mathscr{C o D}$ 和 $G:mathscr{D o C}$ 是兩個函子。 $F$ 和 $G$ 之間的一個伴隨（adjunction）是對於每對 $(Ain ob(mathscr{C}), Bin ob(mathscr{D}))$ 的，從 $mathscr{D}$ 中的箭頭 $FA o B$ 到 $mathscr{C}$ 中的箭頭 $A o GB$ 的，一個在 $A,B$ 上是自然的一個同構：

$mathscr{D}(FA,B)cong mathscr{C}(A,GB)$

我們就稱 $F$ 為 $G$ 的左伴隨（left adjoint）；或 $G$ 為 $F$ 的右伴隨（right adjoint）。記作 $Fdashv G$ 。

標記法：

對於伴隨

我們常將雙射寫作 $frac{FA o B}{A o GB}$ ，將和箭頭 $f:FA o B$ 相對應的箭頭寫作 $overline{f}:A o GB$ ，將和 $g:A o GB$ 相對應的箭頭寫作 $overline{g}:FA o B$ 。 $overline{overline{f}} = f, overline{overline{g}} = g$ .

上劃線操作有時被稱為「轉置」（transpose）

自由函子 $F: extsf{Set} o extsf{Grp}$ 是遺忘函子 $G: sf Grp o Set$ 的左伴隨。同態 $FA o B$ 是由映射 $A o GB$ 唯一決定的。對於自由環、自由R-模等有著同樣的觀察。
遺忘函子 $sf Top o Set$ 即有左伴隨，也有右伴隨。左伴隨 $D$ 是集合 $A$ 加上其離散拓撲（discrete topology），因為所有的函數 $DA o X$ 都是連續的。其右伴隨是集合 $A$ 加上一個密著拓撲（indiscrete topology）。
設 1 為有著單一對象 $star$ 的範疇。函子 $F:1 o mathscr{C}$ 是唯一函子（unique functor） $mathscr{C} o 1$ 的左伴隨，當且僅當 $Fstar$ 是 $mathscr{C}$ 中的初對象。同樣地， $F$ 是 $mathscr{C} o 1$ 的右伴隨當且僅當 $Fstar$ 是 $mathscr{C}$ 中的一個初對象。

伴隨的特性

在雙射 $frac{FA o B}{A o GB}$ 中， $A$ 和 $B$ 里的自然性意味著什麼呢？

在 $A$ 中的自然性意味著對於 $mathscr{C}$ 中的 $a:A o A$ ，範疇圖

是可交換的；在 $B$ 中的自然性意味著對於 $mathscr{D}$ 中的 $b:B o B$ ，範疇圖

是可交換的。

也就是說： $overline{gcirc a}=overline{g} circ Fa$ 和 $overline{bcirc f}=Gbcirc overline{f}$ 。

我們可以從範疇圖中得到兩個自然變換（米田引理）：

$mathscr{D}(FA,B)cong mathscr{A,GB}\ 即 H^{FA}cong mathscr{C}(A,G-)\ mathscr{C}(A,GB)cong mathscr{D}(FA,B)\ 即H_{GB}cong mathscr{D}(F-,B)$

下面同構完全取決於恆等（identity）的走向：

$FAxrightarrow{1_{FA}} FA$ 對應著 $Axrightarrow{eta_A} FGA$
任何 $FAxrightarrow{f}B$ 都對應著 $Axrightarrow{eta_A}GFAxrightarrow{Gf}GB$
$GBxrightarrow{1_{GB}}GB$ 對應著 $FGBxrightarrow{epsilon_B}B$
任何 $Axrightarrow{g}GB$ 都對應著 $FAxrightarrow{Fg}FGBxrightarrow{epsilon_B}B$

引理1

$eta_{A}:A o GFA$ 構成自然變換 $eta:1_mathscr{C} o GF$ ；對偶地， $epsilon_B$ 構成自然變換 $epsilon:FG o1_mathscr{D}$ 。

證明：

對於 $a:A o A$ ，我們有

$Axrightarrow{eta_A}GFAxrightarrow{FGa}GFA$ 對應著 $FAxrightarrow{Fa}FA$

$Axrightarrow{a}Axrightarrow{eta_{A}}GFA$ 對應著 $FAxrightarrow{Fa}FAxrightarrow{1_{FA}}FA$

所以下圖是可交換的，從而可以證明 $eta$ 是自然的：

同樣地，我們也可以證明 $epsilon$ 也是自然的。 $square$

定理2

設 $G:mathscr{D o C}$ 為一個函子，那麼為 $G$ 規定一個左伴隨等價於為每一個 $mathscr{C}$ 對象 $A$ 規定一個逗號範疇 $(Adownarrow G)$ 的初對象。

推論3（伴隨的唯一性）

對於函子 $G:mathscr{D o C}$ ，任意兩個左伴隨都是典型自然同構（canonically naturally isomorphic）。

證明：假設 $F,F$ 都是函子 $G$ 的左伴隨，那麼 $(FA,eta_A),(FA,eta_A)$ 都是 $(Adownarrow G)$ 中的初對象，所以在 $(Adownarrow G)$ 中存在唯一的同構 $alpha_A:(FA,eta_A) o(FA,eta_A)$ 。由唯一性可知 $alpha$ 是自然變換。

引理4（伴隨可複合，adjoints compose）

給定 $Fdashv G, Hdashv K$ ， $mathscr{C} ightleftarrows^{F}_{G}mathscr{D} ightleftarrows^{H}_{K}mathscr{E}$ ，那麼我們有 $HFdashv GK$ 。

換句話說，通過 $mathscr{E}(F_2F_1A,B)cong mathscr{D}(F_1A,G_2B)congmathscr{C}(A,G_1G_2B)$ ，我們可以知道 $mathscr{C} ightleftarrows^{F_1}_{G_1}mathscr{D} ightleftarrows^{F_2}_{G_2}mathscr{E}$ 可以得出 $mathscr{C} ightleftarrows^{F_2F_1}_{G_1G_2}mathscr{E}$ 。

推論5（伴隨正方形，adjoints in squares）

設 $mathscr{C}xrightarrow{F}mathscr{D}\ ^Gdownarrow phantom{ddd} downarrow{_H}\ mathscr{E}xrightarrow[K]{} mathscr{F}$ 為可交換圖，其中四個邊函子均有左伴隨。那麼下面的左伴隨圖上至自然變換是可交換的：

$mathscr{C}xleftarrow{}mathscr{D}\ uparrow phantom{ddd} uparrow\ mathscr{E}xleftarrow[]{} mathscr{F}$

單位和余單位（units and counits）

定義2

對於伴隨 $Fdashv G$ ，自然變換 $eta:1_mathscr{C} o GF$ 被稱為該伴隨的單位（unit）。對偶地， $epsilon: FG o 1_mathscr{D}$ 被稱為該伴隨的余單位（counit）。

定理6（三角恆等，triangle identities）

對於函子 $G:mathscr{D o C}$ ，規定一個伴隨 $Fdashv G$ 等價於規定滿足「三角恆等」關係的兩個自然變換 $eta:1_mathscr{C} o GF$ 和 $epsilon:FG o 1_mathscr{D}$ ： $eta$ 和 $epsilon$ 必須使得下面的兩個範疇圖可交換：

一些對偶關係

左伴隨 $leftrightarrow$ 右伴隨
單位 $leftrightarrow$ 余單位
在 $A$ 中是自然的 $leftrightarrow$ 在 $B$ 中是自然的
第一個三角恆等 $leftrightarrow$ 第二個三角恆等

引理7

對於有著余單位 $epsilon:FG o 1_mathscr{D}$ 的伴隨 $Fdashv G$ ，

$G$ 是忠實的，當且僅當對於所有的 $B$ ， $epsilon_B$ 都是滿態。
$G$ 是全然忠實的，當且僅當對於所有的 $B$ ， $epsilon_B$ 都是同構。

定義3（反映，reflections）

當 $G$ 全然忠實時，伴隨被稱為一個反映。
反映子範疇是當包含函子 $mathscr{D o C}$ 有一個左伴隨時， $mathscr{C}$ 的一個滿子範疇 $mathscr{D}$ 。

伴隨等價（adjoint equivalence）

引理8（任何等價都可以視為伴隨等價）

考慮等價 $mathscr{C} ightleftarrows^{F}_{G} mathscr{D}$ ， $alpha:1_mathscr{C} xrightarrow{sim} GF, eta:1_mathscr{D}xrightarrow{sim}FG$ ，那麼存在一個單位為 $alpha$ 的伴隨等價 $Fvdash G$ 。

伴隨和極限

定理9（右伴隨保存極限）

假設 $G:mathscr{D o C}$ 有一個左伴隨 $F$ ，那麼 $G$ 保存所有出現在 $mathscr{D}$ 中的極。對偶地， $F$ 保存所有出現在 $mathscr{C}$ 中的余極限。

引理10

考慮 $G:mathscr{D o C}$ 和 $mathscr{C}$ 對象 $A$ 。如果 $mathscr{D}$ 擁有且 $G$ 保存形狀為 $mathscr{J}$ 的極限，那麼 $(Adownarrow G)$ 擁有形狀為 $mathscr{J}$ 的極限，遺忘函子 $U:(Adownarrow G) o mathscr{D}$ 創造這樣的極限。

定理11（原始伴隨函子定理，Primeval Adjoint Functor Theorem）

假設 $mathscr{D}$ 擁有所有的極限，那麼函子 $G:mathscr{D o C}$ 有一個左伴隨當且僅當它保存所有的極限。

定義4（弱初始，weakly initial）

設 $mathscr{C}$ 為一個範疇， $mathscr{C}$ 中的一個對象集合 ${A_imid iin I}$ 被稱為弱初始（weakly intial），如果對於任何 $mathscr{C}$ 對象 $B$ ， $mathscr{C}$ 中都存在一個 $iin I$ 和箭頭 $h_i:A_i o B$ 。

定理12（普通伴隨函子定理，General Adjoint Functor Theorem）

設範疇 $mathscr{D}$ 擁有所有的小極限，即它是局部小且完全的（complete）。那麼函子 $G:mathscr{D o C}$ 有一個左伴隨當且僅當 $G$ 保存所有的小極限，而且對於每一個 $mathscr{C}$ 對象 $A$ ， $(Adownarrow G)$ 都有一個弱初始集合。

定義5（余分離族，coseparating family）

範疇 $mathscr{C}$ 的余分離族 $mathscr{G}$ 是一組對象 $mathscr{G}=(G_imid iin I)$ ，使得對於任何一對 $mathscr{C}$ 中的箭頭 $f,g:A o B$ ，其中 $f eq g$ ，都存在一個 $iin I$ 和 $h:B o G_i$ 使得 $hf eq hg$ 。

定理13（特殊伴隨函子定理，Special Adjoint Functor Theorem）

設範疇 $mathscr{C}$ 和 $mathscr{D}$ 都是局部小的， $mathscr{D}$ 是完全的且供能良好（well-powered）的，且有一個余分離集合。那麼函子 $G:mathscr{D o C}$ 有一個左伴隨當且僅當 $G$ 保存小極限。（功能良好的定義參見： well-powered category in nLab）

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