導出範疇如何決定代數簇的結構？

04-13

本文可以看做是上一篇文章「有理曲面的刻畫」的續篇。我們知道，A.Bondal 和D.Orlov 證明了對於光滑代數簇 $X$ , 如果它是Fano 或者anti-Fano的，那麼the bounded derived category of coherent sheaves $D^b(X)$ 可以唯一決定這個代數簇本身。那麼我們可以問如下自然的問題：

如果 $X$ 是一個一般的諾特概型，導出範疇 $D^b(X)$ 具有怎樣的性質時，我們可以推出 $X$ 是光滑的？
如果 $X$ 是一個光滑射影代數簇，導出範疇 $D^b(X)$ 中的對象具有怎樣的性質時，我們可以推出 $X$ 是 Fano的？
如果 $X$ 是一個光滑射影代數簇，導出範疇 $D^b(X)$ 如何反映 $X$ 的幾何信息？

首先是smoothness of schemes是可以用導出範疇刻畫的。Valery Lunts 和 Olaf M. Schnurer 證明了同調光滑性和幾何光滑性是等價的：

https://arxiv.org/pdf/1406.7559.pdf?

arxiv.org

Theorem: Let $X$ be a noetherian scheme of finite type over $k$ satisfying some mild conditions, let $X imes X$ be a noetherian scheme, let $Delta:X ightarrow X imes X$ be a diagonal closed immersion. Then the following conditions are equivalent:

1) $D^b_{perf}(X)$ is smooth over $k$

2) $X$ is smooth over $k$

以下，我們假設所考慮的variety $X$ 都是smooth projective variety. 我們考慮bounded derived category of coherent sheaves on $X$ , $D^b(X)$ .上面的Serre functor 是 $omega_X[dimX]$ ，我們有如下定理：

Theorem: Let $X,Y$ be smooth projective varieties such that there is a triangulated equivalence $Phi: D^b(X) ightarrow D^b(Y)$ , then $dimX=dimY$ .

現在的問題是 $D^b(X)$ 中的對象滿足什麼性質能說明 $X$ 是Fano的。我們有如下定理：

Theorem: Let $D^b(X)$ admit a full exceptional collection $mathcal{E}$ of length $l(mathcal{E})=dimX+1$ , then $X$ is Fano or anti Fano.

這種variety 叫做Minifold. 如下這篇文章對Minifold with dimension $leq 4$ 給出了一些分類的結果。

[1305.4549] Minifolds and Phantoms?

arxiv.org

Bondal-Polishchuk 曾經證明了一個類似的定理

Theorem: Let $D^b(X)$ admit a full exceptional collection $mathcal{E}$ of length $dimX+1$ consisting pure sheaves, then $-K_X$ is ample, so $X$ is Fano.

有趣的是，如果full exceptional collection 的長度是 $dimX+2$ , 立即就會有很多反例了。比如我們考慮 $dim X=2$ , 此時 $l(mathcal{E})=2+2=4$ , 考慮Hirzebruch surface $mathbb{F}_n$ , 顯然這些曲面有full exceptional collection of line bundles of length 4. 但是當 $ngeq 2$ ，它們就不是Fano的了。

在曲面的情形，我做過一些微小的工作：

Theorem: Let $X$ be a smooth projective surface, let $D^b(X)$ admit a cyclic strong exceptional collection of line bundles of maximal length, then $-K_X$ is big and nef, i.e $X$ is weak-Fano surface.

Daniel Chan,也證明過一個類似但是弱一些的定理：

Theorem: Let $X$ be a smooth projective surface admitting a $2-hereditary$ tilting bundle, then $X$ is a weak-Fano surface.

我猜測，我證明的結果是可以推廣到高維的，但是目前我覺得有希望證明的是如下結論：

Conjecture: Let $X$ be a smooth projective variety such that $D^b(X)$ admits full cyclic strong exceptional collection of line bundles, then $X$ is rational connected.

還有更多的內容就是更專門的所謂Orlov folklore conjecture了，在我以前寫的帖子中有專門的介紹

justlikemath：有理曲面的刻畫?

zhuanlan.zhihu.com

並且在我剛才提到的那篇Minifold and Phantom的文章中也有一些細緻的結果，比如導出範疇中對象中的性質決定 $X$ 的chow motives的性質等等。

最後關於維數，我們有如下的猜想：

Conjecture: Let $D^b(Y)=<D^b(X),mathcal{A}>$ be a semi-orthogonal decomposition and $mathcal{A}$ is orthogonal complement of $D^b(X)$ , then $dim Xleq dim Y$ .

不知道辛幾何上有沒有人研究類似的結果，比如Derived Fukaya category中的對象的性質能不能決定辛流形的性質，比如Monotone之類的。。