投資組合理論

04-13

投資組合理論是我在本科階段學習次數最多，但是忘得最快的理論，沒有之一......

以下總結參考了《CFA考試突破》一書。

一、組合管理理論

1. 必要收益率 = 實際無風險收益率 + 預期通貨膨脹溢價 + 風險溢價

Required rate of return = real risk-free rate + expected inflation premium + risk premium

2. 現代投資組合理論（MPT）

對於兩種資產組合：

$E(RP)=w_{1} E(R_{1} )+w_{2} E(R_{2} )$

$sigma _{p} =sqrt{w _{1}^{2} sigma _{1}^{2}+w _{2}^{2} sigma _{2}^{2}+2w _{1} w _{2} sigma _{1}sigma _{2} ho _{1,2} }$

相關係數對投資組合效用的影響：

有效邊界：不斷增加投資組合中的資產數量，得到最左上方的一條曲線；有效邊界上的投資組合為有效組合，包含了所有風資產，有效組合是完全分散化了的投資組合。

投資者的效用函數：投資者的主觀慾望

有效邊界：證券市場的客觀實際

將二者結合，無差異曲線和有效邊界的切點就是投資者效用最大的投資組合，為最優組合

3. 資本市場理論（CMT）

William Sharpe在MPT基礎上引入無風險資產得到

如果我們想要計算出無風險資產與任一有效邊界上的投資組合X組合後的情況：

$E(R_{p} )=w_{x} E(R_{x} )+(1-w_{x}) E(R_{f} )=R_{f}+w_{x}[E(R_{x}) -R_{f}]$ （1）

$sigma _{p}^{2} =w _{x}^{2} sigma _{x}^{2}+(1-w _{x})^{2} sigma _{f}^{2}+2w _{x}(1- w _{x}) sigma _{x}sigma _{f} ho _{x,f}$

∵ $sigma _{f}=0$

$sigma _{p}^{2} =w _{x}^{2} sigma _{x}^{2}$

∴ $w _{x} = frac{sigma _{p}}{ sigma _{x}}$

代入（1）式，得到

$E(R_{p} )=R_{f}+ sigma _{p}frac{ [E(R_{x}) -R_{f}]}{ sigma _{x}}$

截距為 $R_{f}$ ，斜率為 $frac{ [E(R_{x}) -R_{f}]}{ sigma _{f}}$ ，斜率就是投資組合X的 Sharpe ratio

當這條直線與有效邊界相切時，切點為M，這條直線將優於與任意有效組合X組合後得到的直線，也優於有效邊界。FM取代了馬科維茨有效邊界，成為了新的有效邊界。

此時，直線為： $E(R_{p} )=R_{f}+ sigma _{p}frac{ [E(R_{m}) -R_{f}]}{ sigma _{m}}$

這條直線就是資本市場線（capital market line，CML）

點M為市場組合（market portfolio）

貸出投資組合：M左側上的點，投資於無風險資產、市場組合

借入投資組合：M右側上的點，以無風險利率融資投資於市場組合

4. 資本資產定價模型

總風險 = 系統性風險 + 非系統風險

投資者承擔風險要求風險溢價的匹配，非系統性風險可以通過構造投資組合分散掉，是可以避免的，因此承擔非系統性風險不能得到風險溢價。風險溢價是承擔系統性風險的補償。

因為風險溢價只與系統性風險有關，引入系統性風險的指標 $eta$ ，表示回報率與系統性風險的關係。這便得到了資本資產定價模型（CAPM）:

$E(R_{i} )=R_{f}+[E(R_{m}) -R_{f}]eta _{i}$

這條直線為證券市場線（security market line，SML）

斜率為 $[E(R_{m}) -R_{f}]$ ，稱為市場風險溢價

斜率與 $eta$ 值相乘為該證券的風險溢價

任何定價合理的資產或資產組合，其收益率相當於CAPM模型確定的收益率（位於SML線上）。如果一個證券價格被高估（收益率被低估），其應當位於SML下方。