結合數學史淺談搞數學科研為什麼難

標題起的有些大，而文章不可能面面俱到，但相信讀者僅從局部片段多少也能感受到當代數學科研的困難之處。其實文章也想起個副標題《我為什麼反對過於抽象地學習數學》。

根據我讀數學文獻和看數學家傳記經驗，大部分大部分純數研究是在抽象與構造間的一個平衡，像抽象代數幾何學習者們崇拜的G那樣的數學家是極少的，也是極端的，連Serre和Atiyah都不贊同別人學G那樣思考。

把構造簡化理解成具體例子也是過度了，構造一般確實基於一個模型或積木，但也要挖掘這些積木中的內在隱藏的數學性質。這些性質也許事後看不難理解，但卻有些出乎意料。特別地，在已知積木中挖掘出隱藏的性質並不顯然，有時也與你掌握最新知識的多少關係不大。長久以來，發現一些數學系本科生有過度重視抽象，輕視構造能力訓練傾向。長此以往，在以後的數學科研中，可能會失望。

舉兩個例子，我盡量避免陷入抽象的術語排列，主要講講思想方面。

第一個栗子：我們要證明a=b，你根據熟悉的知識，知道存在一個抽象的萬有參數空間R可以參數化對象a，當然也能參數化b，但是兩個參數化映射f和g無法直接建立聯繫，把你卡住了。最後的解決，也是最困難的地方，是你需要構造一個具體的參數化空間T，然後證明R=T是同構。R參數化a，對應參數化映射為f；T參數化b，對應參數化映射仍記為g。最後利用R和T之間的同構映射h把f和g聯繫起來，進而證明a=b。構造T和證明R=T是同構，這兩步都是非凡的工作，Wiles當年就是這麼乾的。

第二個栗子：我們研究一個抽象對象M，證明祂具有某些數學性質P。數學中，一種抽象的思維方式是引入一個抽象的等價關係（不是P），然後研究M在此關係下的等價類M class。在實際操作中，我們要在M class里找到一個數學結構簡單的代表元C，搞明白了C，再由等價關係傳導到M，自然理解了前述數學性質P。看起來很自然，難在哪？很抱歉，數學史表明，往往不是證明這個簡單代表元C是存在的，而是要具體構造出C，這個構造往往出人意料。我們知道R4上存在怪異微分結構，第一個怪異R4的發現依賴於一個結論：E8+E8不是4維光滑流形。而這個結論是由Donaldson對角化定理推出來的-----這依賴於M配邊等價於若干CP2的無交並集-----依賴於規範場理論（通過擾動，以此構造出C）。

更完整的表述見附圖：