物理四神獸——芝諾的龜

04-12

前言

物理學中有非常多的思想實驗，其中有四個比較出名，即芝諾的龜、拉普拉斯的妖、麥克斯韋的妖和薛定諤的貓。這四個思想實驗中的龜、妖、妖和貓也被戲稱為物理學四大神獸。從本篇開始，我將寫四篇文章對上述四個思想實驗做較為深入的解讀和分析。

芝諾的龜

一、芝諾悖論的四種表述

芝諾的龜出自於芝諾佯謬（也叫芝諾悖論，Zenos paradox），而實際上，類似的悖論在中國古代的《莊子·天下篇》中就有描述。

鏃矢之疾，而有不行不止之時。

芝諾佯謬來自於亞里士多德在其《物理學》的第VI卷中的轉述，共有四個版本：

1、二分法悖論。如圖1所示，現在有一個運動員從起跑點出發往終點跑去。他要想跑到終點，就必須先到達全程的一半處，而要想到達一半處，必須先到達1/4處，這個過程可以無限的進行下去，所以，他永遠到達不了終點，或者說，他根本動不了。

圖1 二分法示意圖

2、阿基里斯和龜。如圖2所示，阿基里斯追前面的一隻烏龜，阿基里斯的速度大於烏龜的速度。初始時烏龜處於A1處，等阿基里斯跑到A1處時，烏龜已經爬到A2處了；當阿基里斯再趕到A2處時，烏龜已經爬到A3處了......雖然每次追趕的距離越來越小，但是這個過程卻是可以永遠的進行下去的，因此阿基里斯永遠追不上烏龜。

圖2 阿基里斯和龜

3、飛矢不動。如圖3所示。一支飛行的箭是靜止的。由於每一時刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處於運動狀態。《莊子·天下篇》說的也是這個道理：疾飛之箭，每一瞬間箭既在某點，又不在某點，即所謂的「不行」「不止」，也就說箭既不動也不停，辯證的意味深遠。另外，中國古代的名家慧施也提出過「飛鳥之景，未嘗動也」的類似說法。

圖3 飛矢不動

4、運動場。假設在操場上有觀眾席Ａ，列隊Ｂ、Ｃ，如圖4所示，在一瞬間（一個最小時間單位）里，相對於觀眾席Ａ，列隊Ｂ、Ｃ將分別各向右和左移動一個距離單位。而此時，對B而言C移動了兩個距離單位。也就是，隊列既可以在一瞬間（一個最小時間單位）里移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位里移動一個距離單位，這就產生了半個時間單位等於一個時間單位的矛盾。因此隊列是移動不了的。

圖4 運動場隊列示意圖

以上是芝諾悖論的四種表述，這四種可分為兩組，前兩個假設時空連續，後兩個假設時空是分立的。本文對悖論里的哲學辯證思想不做任何討論，只從數學的角度探討阿基里斯和龜悖論的原因，另外三個悖論感興趣的讀者可以自行研究。

二、阿基里斯和龜

本節我們詳細推導一下阿基里斯追不上烏龜的數學原理。實際上，這個悖論的本質是兩種不同的度量的比較，一個是普通的鐘 $t$ ，在這個度量下阿基里斯最終追上了烏龜，另一個是「芝諾鍾「 $t$ 」，在這個度量下，即使時間趨向於正無窮，阿基里斯也追不上烏龜。

假設開始時阿基里斯與烏龜相距 $L$ ，二者的速度分別為 $V_1$ 和 $V_2$ ，顯然 $V_1>V_2$ 。在普通鐘下，當 $t=frac{L}{V_1-V_2}$ 時阿基里斯追上烏龜。而對於芝諾鍾，每次阿基里斯到達烏龜本來所在的地方時，其「滴答」一下，也就是其值加一。因此，普通鍾和芝諾鐘的關係為：

當 $t=0$ 時， $t=0$ 。比賽開始；
$t=frac{L}{V_1}$ ， $t=1$ 。阿基里斯到達第一個龜的出發點；
$t=frac{L}{V_1}+frac{L}{V_1}frac{V_2}{V_1}$ , $t=2$ 。阿基里斯到達第二個龜的出發點；
以此類推
$t=frac{L}{V_1}+frac{L}{V_1}frac{V_2}{V_1}+...+frac{L}{V_1}(frac{V_2}{V_1})^{n-1}$ , $t=n$ 。阿基里斯到達第n-1個龜的出發點。

通過以上的推導，可以看出二者的變換關係：

$t=sum_{n=0}^{t-1}frac{L}{V_1}(frac{V_2}{V_1})^{n}=frac{L}{V_1-V_2}(1-(frac{V_2}{V_1})^{t})$ ,

或者

$t=frac{1}{ln{(V_2/V_1)}}ln{(1-frac{V_1-V_2}{L}t)}$ 。

顯然，在芝諾鐘的度量下， $t ightarrowinfty$ 時有 $t ightarrowfrac{L}{V_1-V_2}$ ，如圖5所示，

圖5

因此有限的芝諾鍾時間下阿基里斯是追不上烏龜的。

三、分析和討論

阿基里斯與烏龜本質上來說就是對時間度量做了一個變換，把正常世界的時間映射到芝諾度量下，用芝諾鐘的指示看運動，結論自然不一樣。既然這是一個「佯謬」或者「悖論」，就說明這肯定是錯誤的。

也有人用量子力學中的「時空是離散的」這樣的結論來證明芝諾悖論是不成立的，實際上這是不對的。首先，芝諾悖論提出的時候和量子力學並沒有關係，其中的時空不連續也是辯證意義上的；其次，量子力學的時空是離散的並不是嚴謹的表達，實際上量子力學中並不存在時空離散這樣的理論或者結論，具體的內容此處不過多說明。總而言之，芝諾悖論與量子力學扯不上關係。

阿基里斯與龜的悖論來自於芝諾鐘的局限性，芝諾鍾所能描述的時間範圍只是普通鐘的一段，那麼，我們所使用的普通鍾是否也有局限性呢？答案是有的！普通鐘不能用來度量物體落入黑洞之後的過程，而物體向黑洞掉落的過程也需要無窮大的普通鍾時間。因此，為了描述與黑洞相關的現象，我們也需要找到一個新的鐘來度量這些過程。有興趣的讀者可以自行了解廣義相對論的內容。

歷史上，人們很早就開始懷疑「速度」這個量，這其中充滿了哲學的味道。相傳，在芝諾挑戰運動現實性的時候，希臘哲學家、犬儒注意的代表性人物第歐根尼（Diogenes，412~323BC）以反對者的面貌出現——他站起來，一言不發地走了幾個來回，然後又坐下，以此當做他優雅地反駁了芝諾。

註：本文部分內容引用國科大趙亞溥老師的力學講義和維基百科，文中圖片均來源於網路。

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