標籤：

駐波、行波、波的能量、波的反射與透射

04-12

對於一個以速度v向右傳播的波

$y(x,t)=Asinfrac{2pi}{lambda}(x-vt)$

令 $k=frac{2pi}{lambda}$

正方向波 $y_1(x,t)=Asin(kx-omega t)$

反方向波 $y_2(x,t)=Asin(kx+omega t)$

根據和差化積的公式：

$sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)$

$y=y_1(x,t)+y_2(x,t)=Asin(kx-omega t)+Asin(kx +omega t) =2Asin(kx)cos(omega t)$

產生駐波時有節點x，使 $kx=npi$ $（n=1,2,3,4,5..........）$ ,令弦長為L， $kL=npi（n=1,2,3,4,5..........）$

得到

$k_n=npi/L$ $（n=1,2,3,4,5..........）$ ,

$lambda_n=2pi/k_n=2L/n$

$omega_n=npi v/L$

怎樣才能得到這種波長、頻率、速率都一樣，但運動速度方向相反的波呢？上一節波的反射說到的閉合型邊界反射

bingo，成功得到理想的正方向波和反方向波,下面演示一下駐波的振蕩形態

節點的位置一直保持靜止

振幅是入射波2倍

入射波和反射波疊加正好形成了完美的駐波。把它理解為自然界的某種偉大的巧合吧對於對於一個A*sin(k*x+w*t)的波上的一個微小質點的動能為

e=0.5*u*(A*w*cos(k*x))**2*dx

積分Integral(0.5*A**2*u*w**2*cos(k*x)*2, (x,0,2*pi/x),得到

$k=frac{2pi}{lambda}=frac{omega}{v}$

$E_動=frac{A^2omega^2pimu}{2k}=frac{A^2pi^2T}{lambda}$

勢能和動能相等，所有總能量

$E_總=2E_動=2E_勢=frac{A^2omega^2pimu}{k}=frac{2A^2pi^2T}{lambda}$

至於為什麼勢能和動能相等，而且同相，豆丁網收錄了一篇很好的文章

（簡諧波勢能的一種簡明推導），把重點引用過來

一列波到邊界時，反射部分並透射部分

y1=A1*sin(a+w*t-k1*x)

y2=A2*sin(b+w*t+k1*x)

y3=A3*sin(c+w*t-k2*x)

$omega_1=v_1k_1=v_2k_2$

為滿足邊界介質的連續性條件

$A_入+A_反=A_透$

由於邊界處弦的拉力T1=T2，垂直方向的作用力也相等，斜率也必然相等

$-A_入k_1+A_反k_1=-A_透k_2$

$frac{A_反}{A_入}=frac{v_2-v_1}{v_2+v_1}$ ; $frac{A_透}{A_入}=frac{2v_2}{v_1+v_2}$

$frac{v_1}{v}=frac{-M + m}{M + m}$

$frac{v_2}{v}=frac{2m}{M+m}$

當 $v_1>v_2$ ，即一列波從細繩傳播到粗繩時，隨時間變化波形

當 $v_1<v_2$ ，即一列波從粗繩傳播到細繩時，隨時間變化波形

另外還有一個發現就是反射和透射公式和牛頓力學中運動物體碰撞靜止物體的運動公式驚人一致，可以把波傳播介質每一個微小質點對鄰近質點的作用看成是一系列的碰撞。

$frac{A_反}{A_入}=frac{v_2-v_1}{v_2+v_1}$ ; $frac{A_透}{A_入}=frac{2v_2}{v_1+v_2}$

$frac{v_1}{v}=frac{-M + m}{M + m}$ ; $frac{v_2}{v}=frac{2m}{M+m}$

推薦閱讀：

※帶阻尼的強迫振動與共振

TAG:振動力學 |