【平面向量】向量的叉積與三角形的面積

04-12

在高中數學的課本中，介紹了向量的內積：

已知向量 $overrightarrow{a}$ 和向量 $overrightarrow{b}$ ，則定義向量的內積 $overrightarrow{a}cdotoverrightarrow{b}=|overrightarrow{a}|cdot|overrightarrow{b}|cdot cos<overrightarrow{a},overrightarrow{b}>$ ，其中 $|overrightarrow{a}|$ 、 $|overrightarrow{b}|$ 表示向量 $overrightarrow{a}$ 、 $overrightarrow{b}$ 的模長， $<overrightarrow{a},overrightarrow{b}>$ 表示兩向量的夾角。

在坐標系中，則有這樣的結論：

設向量 $overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$ ， $overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$ ，則向量的內積 $overrightarrow{a}cdot overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2$

對於空間向量 $overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1)$ ， $overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)$ ，則有向量的內積 $overrightarrow{a}cdot overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ 。

但其實，向量也有一個很重要的運算，叫做「叉積」，也叫做外積。

在這裡只簡單地介紹一下其在高中數學中的應用，不講太深入的東西。

一、向量叉積的定義

已知向量 $overrightarrow{a}$ 和向量 $overrightarrow{b}$ ，則定義向量的叉積 $overrightarrow{a} imesoverrightarrow{b}=|overrightarrow{a}|cdot|overrightarrow{b}|sin<overrightarrow{a},overrightarrow{b}>$ ，其中 $|overrightarrow{a}|$ 、 $|overrightarrow{b}|$ 表示向量 $overrightarrow{a}$ 、 $overrightarrow{b}$ 的模長， $<overrightarrow{a},overrightarrow{b}>$ 表示兩向量的夾角。

需要注意的是，叉積有正有負，其由夾角 $<overrightarrow{a},overrightarrow{b}>$ 決定。

夾角 $<overrightarrow{a},overrightarrow{b}>$ 可以理解為「 $overrightarrow{a}$ 到 $overrightarrow{b}$ 的角」，規定逆時針為正方向。

相比內積，叉積只是將 $cos heta$ 變成了 $sin heta$ 。

如果說內積的幾何意義是投影和乘積的話，叉積的幾何意義就會明確許多：

叉積的數值（絕對值）就表示以兩向量為邊長的平行四邊形的面積。

證明如圖，在平行四邊形 $OACB$ 中，設 $overrightarrow{OA}=overrightarrow{a}$ ， $overrightarrow{OB}=overrightarrow{b}$ 。

由三角形面積公式可知： $S_{△OAB}=frac{1}{2}|overrightarrow{a}|cdot|overrightarrow{b}|sinangle AOB$

由平行四邊形的性質： $S_{△OAB}=S_{△CAB}$

所以 $S_{平行四邊形OACB}=2S_{△OAB}$

$=|overrightarrow{a}|cdot|overrightarrow{b}|sinangle AOB=|overrightarrow{a} imesoverrightarrow{b}|$

二、向量叉積的坐標形式

在這裡只考慮平面向量的叉積，先給出結論：

設向量 $overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$ ， $overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$ ，則向量的內積 $overrightarrow{a} imes overrightarrow{b}=x_1y_2-x_2y_1$

證明從向量的內積出發，我們知道 $overrightarrow{a}cdotoverrightarrow{b}=|overrightarrow{a}|cdot|overrightarrow{b}|cdot cos<overrightarrow{a},overrightarrow{b}>$

夾角的餘弦值 $cos<overrightarrow{a},overrightarrow{b}>=frac{overrightarrow{a}cdotoverrightarrow{b}}{|overrightarrow{a}|cdot|overrightarrow{b}|}$

則 $sin<overrightarrow{a},overrightarrow{b}>=sqrt{1-cos^2<overrightarrow{a},overrightarrow{b}>}{|overrightarrow{a}|cdot|overrightarrow{b}|}$

$=frac{sqrt{(|overrightarrow{a}|cdot|overrightarrow{b}|)^2-(overrightarrow{a}cdotoverrightarrow{b})^2}}{|overrightarrow{a}|cdot|overrightarrow{b}|}$

由叉積定義 $overrightarrow{a} imesoverrightarrow{b}=|overrightarrow{a}|cdot|overrightarrow{b}|sin<overrightarrow{a},overrightarrow{b}>$

$=sqrt{(|overrightarrow{a}|cdot|overrightarrow{b}|)^2-(overrightarrow{a}cdotoverrightarrow{b})^2}$

$=sqrt{x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2-2x_1x_2y_1y_2}$

$=sqrt{(x_1y_2-x_2y_1)^2}=|x_1y_2-x_2y_1|$

再判斷正負號可得 $overrightarrow{a} imes overrightarrow{b}=x_1y_2-x_2y_1$ 。

三、向量叉積在解析幾何中的應用

在做解析幾何的題目，特別是關於面積的問題時，常常可以用到向量的叉積公式。

不過在解答的時候當然不能直接寫叉積，因此在這裡給出一個三角形的面積公式：

設 $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$ ，則有

$S_{△OAB}=frac{1}{2}|overrightarrow{OA} imesoverrightarrow{OB}|=frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$

若設直線 $AB:y=kx+m$ ，代入可得

$S_{△OAB}=frac{1}{2}|x_1(kx_2+m)-x_2(kx_1+m)|=frac{|m|}{2}|x_1-x_2|$

將該公式當作結論背下，可以在做題的時候加快速度。

四、向量叉積與右手定則

向量的外積可以等效定義為 $|overrightarrow{c}|=|overrightarrow{a} imesoverrightarrow{b}|$ ，此時向量 $overrightarrow{c}$ 的方向可以用右手定則來找出來：

一個簡單的確定滿足「右手定則」的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的，當右手的四指從 $overrightarrow{a}$ 以不超過180度的轉角轉向 $overrightarrow{b}$ 時，豎起的大拇指指向是 $overrightarrow{c}$ 的方向。

其中 $overrightarrow{c}$ 垂直於向量 $overrightarrow{a}$ 與 $overrightarrow{b}$ 所在的平面。

這個定則在物理中有廣泛的應用，但是由於本人物理水平一般，在這裡就不多說了。