分析筆記-調和函數、Liouville定理、Harnack不等式

04-12

調和函數的幾個重要性質：均值性質、極值原理、Liouville定理、Harnack不等式。

均值性質

設 $Delta u =0, forall x in Omega subseteq mathbb{R}^{n}.$

給定一點 $x_0 in Omega$ ，則 $exists B_R(x_0) subseteq Omega, forall ho < R$ . 都有：函數的球面積分平均與球體積分平均都等於函數在球心的函數值。即

$u(x_0)=frac{1}{| partial B_{ ho} (x_0)|}int_{ partial B_{ ho} (x_0)}u(y) dsigma(y) =frac{1}{| B_{ ho} (x_0) |}int_{B_{ ho} (x_0)}u(y) dy.$

先證明 $u(x_0)=frac{1}{| partial B_ ho(x_0)|}int_{ partial B_ ho(x_0)}u(y) dsigma(y) , forall B_ ho(x_0) subseteq Omega$ .成立

令 $f( ho):=frac{1}{| partial B_ ho(x_0)|}int_{ partial B_ ho(x_0)}u(y) dsigma(y) .$ 只要證明 $frac{ d }{d ho}( f( ho) )=0$ 即可。

先做「變數替換」， $vec{y} =: ho cdot vec{t} +vec{x_0}.$ 則 $d y= ho^{n} cdot d t$ .

則由已知 $| vec{y}-x_0 |= ho Rightarrow | vec{t} |=1.$

並且 $dsigma(vec{y}) = ho^{n-1} dsigma(vec{t}).$

那麼， $f( ho):=frac{1}{ omega_n }int_{ partial B_1(vec 0)}u( vec x_0+ ho cdot vec{t}) dsigma( vec{t} )$ 它確實是一元函數。

$egin{aligned} f: & mathbb{R}^{1} ightarrow mathbb{R}^{n} ightarrow mathbb{R}^{1} \ & ho mapsto vec{y}:=( vec x_0+ ho cdot vec{t}) mapsto u(vec x_0+ ho cdot vec{t} ) end{aligned}$

那麼，

$egin{aligned} frac{ d }{d ho}( f( ho) )&= frac{1}{ omega_n }int_{ partial B_1(vec 0)} (frac{ partial u }{partial x_1}cdot t_1 +cdots + frac{ partial u }{partial x_n}cdot t_n) dsigma( vec{t} ) \ &=frac{1}{ omega_n }int_{ partial B_1(vec 0)} ( abla u cdot vec{t} ) dsigma( vec{t} ) \ &=frac{1}{ omega_n }int_{ partial B_1(vec 0)} frac{partial u}{ partial vec{ u}} dsigma( vec{t} ) . end{aligned}$

將其代入「第二Green公式」或「散度定理」，即 $int_{U}( psi Delta varphi- varphi Delta psi )dx= oint_{partial U}( psi frac{partial varphi}{partial vec{ u}} - varphifrac{partial psi}{partial vec{ u}})dsigma(x).$

得：

$egin{aligned} frac{ d }{d ho}( f( ho) ) =& frac{1}{ omega_n }int_{ partial B_1(vec 0)} frac{partial u}{ partial vec{ u}}( vec{x_0}+ ho cdot vec{t}) dsigma( vec{t} ) \ xlongequal[dsigma(vec{y}) = ho^{n-1} cdot dsigma(vec{t}) ] {vec{y}:= vec{x_0}+ ho cdot vec{t} } &frac{1}{ omega_n cdot ho^{n-1} }int_{ partial B_{ ho}(vec {x_0})} frac{partial u}{ partial vec{ u}} (vec y) dsigma( vec{y} ) \ xlongequal[]{ ext{(by Green formula )} } &frac{1}{ omega_n cdot ho^{n-1} }int_{ B_{ ho}(vec {x_0})}Delta u (vec{y}) d vec{y} =0 end{aligned}$

這裡用到 $Delta u( vec{y}) =0, forall vec{y} in B_ ho( vec{x_0}).$

所以， $f( ho) equiv ext{Constant}, forall ho in {lambda :B_lambda(x_0) subseteq Omega }$ .

令 $ho ightarrow 0$ 可得： $f( ho)= frac{1}{ omega_n }int_{ partial B_1(vec 0)}u(x_0+ ho cdot vec{t}) dsigma( vec{t} ) ightarrow u(x_0). ( ho ightarrow 0)$

所以 $f( ho)=f(0)=u(x_0).$

證完

既然有了

$u(x_0)=frac{1}{| partial B_{ ho} (x_0)|}int_{ partial B_{ ho} (x_0)}u(y) dsigma(y) =frac{1}{omega_n cdot ho^{n-1}} int_{ partial B_{ ho} (x_0)}u(y) dsigma(y)$ .

恆等變形得 $u(x_0) cdot ho^{n-1} =frac{1}{omega_n} int_{ partial B_{ ho} (x_0)}u(y) dsigma(y)$ .

再在上式兩端做積分 $int_{0}^{r_0} d ho$ 得：

$u(x_0) cdot int_{0}^{r_0} ho^{n-1} d ho =frac{1}{omega_n} int_{0}^{r_0} d ho int_{ partial B_{ ho} (x_0)}u(y) dsigma(y)$

即為 $u(x_0) cdot frac{{r_0}^{n}}{n} =frac{1}{omega_n} int_{ B_{r_0} (x_0)}u(y) dy$ .

這就證明了調和函數的球體均值性質

$u(x_0)=frac{1}{| B_{r_0} (x_0) |}int_{B_{r_0} (x_0)}u(y) dy.$

極值原理（略）

調和函數無窮次可微並且解析。

形式上的證明：考慮1維情形。由調和函數的「球體平均值性質」，有

$u(x) =frac{1}{| B_R(x) |}int_{B_R(x)}u(y) dy= frac{1}{2R}int^{x+R}_{x-R}u(y) dy.$

等式的右邊可以看成是 $u(y)$ 的變上、下限積分函數，變數為 $x$ 。假設 $u(y)$ 是連續函數，那麼根據變上限積分求導，有：

$frac{d}{dx}(u(x))= frac{1}{2R} (u(x+R)- u(x-R)) .$

也就是說 $u in C^1(Omega)$ 。重複上述手續，可以推出 $u in C^2(Omega), cdots , u in C^{m}(Omega), cdots$

因為1維情形的調和函數就是一次函數 $u(y)=k cdot y+b.$

將表達式代入上式可得：

$frac{d}{dx}(u(x))= frac{1}{2R} (u(x+R)- u(x-R)) = frac{1}{2R} (k(x+R)- k(x-R))=k$

確實是一次函數的導數，並不矛盾。

或利用Poisson方程

$Delta u =f$

的Schauder估計理論

即

$[ u ]_{k+2, alpha} leq C cdot [ f ]_{k, alpha}$

其中 $[cdot]_{k, alpha} , 0<alpha <1$ 是Holder(半)模。

代入Laplace方程得：

$[ u ]_{k+2, alpha} leq C cdot [ 0 ]_{k, alpha}=0 Rightarrow u in C^{k+2,alpha}$ .

Liouville定理

全空間上有界調和函數必為常數。即：

設 $f(x)$ 是調和函數，且

$|f(x)|leq M, forall x in mathbb{R}^n.$ 則 $f(x)equiv ext{Constant} , forall x in mathbb{R}^n.$

證明：

只要證 $f(x_0)=f(x_1), forall x_0, x_1 in mathbb{R}^n$ 成立即可。

不妨設 $x_0:=0, x_1:=a$ ，記 $d:=|x_1-x_0|=|a-0|$ 。

取 $R>d>0$ ，則由調和函數的球體平均值性質，有

$egin{aligned} | f(a)-f(0) |= & | frac{1}{ v_n R^n } int_{ B_R( a)} f(y) dy - frac{1}{ v_n R^n }int_{ B_R( 0)} f(y) dy | \ =& frac{1}{ v_n R^n } | int_{ { |y-a|<R} cap { |y-0|>R} } f(y) dy - int_{ { |y-0|<R} cap { |y-a|>R}} f(y) dy | \ leq & frac{M}{ v_n cdot R^n } | int_{ { |y-a|<R} cap { |y-0|>R} } dy | + | int_{ { |y-0|<R} cap { |y-a|>R}} dy | end{aligned}$

這裡

$| int_{ { |y-a|<R} cap { |y-0|>R} } dy | + | int_{ { |y-0|<R} cap { |y-a|>R}} dy | =| {B_R(a) Delta B_R(0)} |$ 。

Liouville定理之圖示

如圖所示，構造「大球」 ${B_{R+d}(0) }$ 和「小球」 $B_{R-d}(0)$ ，則「對稱差」被包含。即

${B_R(a) Delta B_R(0)} subset {B_{R+d}(0) / B_{R-d}(0)}$

所以有

$| {B_R(a) Delta B_R(0)} | leq | {B_{R+d}(0) / B_{R-d}(0)} |$ 。

而測度 $| {B_{R+d}(0) / B_{R-d}(0)} |$ 的表達式是簡單的。

故

$egin{aligned} | f(a)-f(0) | leq & frac{M}{ v_n cdot R^n } | {B_{R+d}(0) / B_{R-d}(0)} | \ =& frac{M}{ v_n cdot R^n }cdot v_n ( (R+d)^n -(R-d)^n ) \ &( ext{利用「二項式定理」}) \ =& frac{M}{R^n } cdot mathcal{O}(R^{n-1}) \ = &mathcal{O}(frac{1}{R}) end{aligned}$

以上結果對任意 $R >d$ 都成立。

所以令 $R ightarrow infty$ ，得

$0 leq |f(a)-f(0)| leq 0 Leftrightarrow f(a)=f(0)$

由 $a$ 的任意性知， $f(x)=f(0)equiv ext{Constant} , forall x in mathbb{R}^n$ .

Harnack不等式(是對正值調和函數而言的)

先證明「弱」一點的命題。

先設 $Delta u =0, u(x) >0, forall x in Omega subset mathbb{R}^n.$

則 $exists r>0, ext{s.t.} B_{4r}(x_0) subseteq Omega.$ 就在這個以 $x_0$ 為球心，半徑為 $4r$ 的 $n$ 維球體中考慮問題。

顯然， $Delta u =0, u(x) >0, forall x in B_{4r}(x_0).$

下證明：

$forall x_1, x_2 in B_{r}(x_0) ( Leftrightarrow |x_1-x_0|<r, |x_2-x_0|<r )$ 時

（其中 $B_{r}(x_0)$ 是以 $x_0$ 為球心，半徑為 $r$ 的 $n$ 維球體），都存在正常數 $C sim n$ ，使得 $u(x_1) leq C cdot u(x_2).$

先證明 $u(x_1) leq C cdot u(x_0).$ 這裡注意 $u(x)$ 是非負函數。

利用

$egin{aligned} & ecause |y-x_1|<r \& Rightarrow |y-x_0|leq |y-x_1|+|x_1-x_0|<r+r=2r \ & herefore B_r(x_1) subseteq B_{2r}(x_0) end{aligned}$

得：

$egin{aligned} & u(x_1)=frac{1}{| B_r(x_1) |}int_{B_r(x_1)}u(y) dy, ( ext{Mean Value}) \ & leq frac{1}{| B_r(x_1) |}int_{B_{2r}(x_0)}u(y) dy \ & =frac{omega_n cdot (2r)^n}{| B_r(x_1) |} cdot frac{1}{omega_n cdot (2r)^n} int_{B_{2r}(x_0)}u(y) dy \ & =2^{n} cdot u(x_0). ( ext{Mean Value}) end{aligned}$

即 $u(x_1) leq 2^n cdot u(x_0) .$

再證明 $u(x_0) leq C cdot u(x_2).$

利用

$egin{aligned} & ecause |y-x_0|<2r \ & Rightarrow |y-x_2|leq |y-x_0|+|x_0-x_2|<2r+r=3r \ & herefore B_{2r}(x_0) subseteq B_{3r}(x_2) . end{aligned}$

得：

$egin{aligned} & u(x_2)=frac{1}{| B_{3r}(x_2) |}int_{B_{3r}(x_2)}u(y) dy, ( ext{Mean Value}) \ & geq frac{1}{| B_{3r}(x_2) |}int_{B_{2r}(x_0)}u(y) dy \ & =frac{omega_n cdot (2r)^n}{| B_{3r}(x_1) |} cdot frac{1}{omega_n cdot (2r)^n} int_{B_{2r}(x_0)}u(y) dy \ & =(frac{2}{3})^{n} cdot u(x_0). ( ext{Mean Value}) end{aligned}$

即 $u(x_0) leq (frac{3}{2})^n imes u(x_2) .$

綜合以上，得到 $forall x_1, x_2 in B_{r}(x_0) , u(x_1) leq 3^n cdot u(x_2).$

這樣先固定 $x_1$ ，有 $u(x_1) leq 3^n cdot inf_{x_2 in B_{r}(x_0)} { u(x_2) }= ext{Constant}$ .

再在兩邊取上確界 $sup$ ，得到

$sup_{x_1 in B_{r}(x_0)} { u(x_1) } leq 3^n cdot inf_{x_2 in B_{r}(x_0)} { u(x_2) }$

這說明，對於在一個有界區域上的正值調和函數說，最大值和最小值的商有個上界。老師形象地說，貧富差距不是很大！

如果要把這個不等式推廣到區域 $Omega$ 內的任何一個連通區域 $Omega_1$ ，只需將在 $Omega_1$ 上 $u(x)$ 達到 $ext{sup, inf}$ 的兩個點（記為 $x_1, x_2 in partial Omega_1$ ）用一條在 $Omega_1$ 內部的直線 $Gamma$ 連起來。然後對 $Gamma$ 上的一族開覆蓋（開球）運用「有限覆蓋定理」，取出有限個依然蓋住，設為 $k$ 個。在每個開球上利用前述已經證明的不等式即可，最終的常數會是 $(3^n)^k$ 。不妨假設只被2個開球覆蓋，嘗試證明。

=================2017年12月1日======================