「寶葫蘆能收寶葫蘆么？」——苗苗大人

早晨，我閨女苗苗大人問我——

苗苗：這個大學這麼大，怎麼把它帶回家啊？

苗苗：那寶葫蘆能把寶葫蘆裝進去么？

我：(°?° ╬)………………Emmmmmmmmm這個問題在公理化「寶葫蘆」的世界裡不討論。

苗苗：為什麼啊(? ˙o˙)?？

我：因為——「正則公理」。

話說吧，大家都知道吧，集合論（set theory）是現代數學的基礎。

德國數學家康托（Georg Cantor，1845-1918）對集合論的思考與研究是從對三角級數的研究中產生的。1874年他發表了第一篇關於無窮集合的文章，開創了集合論（準確地說，他所建立的是樸素集合論，naive set theory，NST）。而且他和戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831–1916）一起建立了實數理論，基本上為第二次數學危機的解決畫上了完滿的句號。

康托自己提出了康托悖論（Cantors paradox）：

首先康托證明了「康托定理」（可見「不能證明也無法否定的「連續統假說」——集合的勢（三）」）。

由此定理可得：對於任意集合 而言， 。其中 表示 的冪集。

好的，下面假設 是「所有集合的集合」，那麼問題就來了：對於任意 ，由於 是集合，所以 ，於是 ，而這就產生了矛盾。

但這時，康托只認為這一悖論通過反證法恰恰證明了沒有「所有集合的集合」或者說「最大的集合」。

其實這時已經出現了 （ ）這種表述。

直到1901年羅素髮表了著名的羅素悖論（Russells paradox）：設集合 ，那麼問題是 是否成立？

根據排中律，回答必然是「是」或「不是」。然而若 ，則 ；若 ，則 。——這就是「悖論」。

羅素悖論還有一種廣為流傳的通俗描述——理髮師悖論（barber paradox）：在一個村子裡有一位理髮師，這位理髮師聲稱：「給而且只給那些不給自己理髮的人理髮」。現在的問題是理髮師是否給自己理髮？ （首先在這個流行的說法中，必須補充一個條件：村子裡至少有一個村民不給自己理髮）

理髮師悖論和羅素悖論的等價性很晦(bie4)/(nan2)澀(niu4)/(shou4)：「理髮師 給自己理髮」表示 ，這裡的兩個 含義不同，左邊的 表示理髮師 ，右邊的是 給理髮的人的集合，於是理髮師 是否屬於他給理髮的人 。

不過這種晦(bie4)(nan2)澀(niu4)(shou4)也很容易理解：

一般民眾（包括我）很難理解一個個體組成的集合「 」居然是自身的一個成員，就像「某某大學其實是自己的一個系」一樣難以接受。

而另一方面，真正能理解「 」寫法的人又何必去看理髮師悖論？羅素悖論的表述已經足夠清晰簡單了。

因此在向民眾傳播時，理髮師悖論是個（雖然無可奈何但是）非常好的選擇。

（簡單地說，）在Zermelo-Fraenkel公理化集合論中有如下公理及公理模式：

分離公理模式（Axiom schema of specification）：

若 是任一集合， 是與 有關的陳述句（事實上是一階邏輯中的公式），那麼可以定義集合 ，是 的一個子集。

也就是說只能由已給的集合定義子集（稱作restricted comprehension），而不允許直接如 形式定義集合（稱作unrestricted comprehension）。

於是迴避（而不是解決）了羅素悖論，也即認為 所定義的不是「集合」。

下面談「 」：配對公理（Axiom of pairing）：若 都是集合，則存在集合 ，使得 。

結合分離公理模式，可以定義 ，它的成員完全是 。

正則公理/基礎公理（Axiom of regularity or Axiom of foundation）：若 是任一非空集合，則存在 的某元素 使得 。

用一階邏輯的語言就是： 。

正則公理就保證了在Zermelo-Fraenkel公理化集合論的世界裡不允許出現「 」：

證明：如果存在某個集合 使得 ，則由配對公理及分離公理模式可以構造集合 。

根據正則公理，有： 的唯一元素 滿足 ，即 。而這就與 產生了矛盾。