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山田的金融日記(3)-Quadratic Variation

04-09

經常能看到再BLACK-SCHOLES或者隨機過程的推導中用到一個等式就是 $(dW_t)^2=dt$ ，經常也就把這個等式當做已知來用了，忽然就對它怎麼來的比較感興趣，就各種搜集了一下其他大神和網上的答案。

Quadratic Variation不知道中文正經翻譯，查了查是二次/二階，變差/變分的排列組合

先定義一下二次(階)變差(分)

函數 $f : [0,T] ightarrow mathbb{R}$ 在區間 $[0,T]$ 上的quadratic variation：

$[f,f](T) = lim_{|Pi| ightarrow 0}sum_{i=0}^{n-1}(f(t_{i+1})-f(t_i))^2$

將 $f$ 代入 $W_t sim N(0,t_i-t_{i-1})$

$<W>_t = Q_{pi} = lim_{||pi|| ightarrow 0}sum_i(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2$

其中

Pie是一系列t的集合，||Pie||代表的是分割里所有區間長度的最大值。

$mathop{mathbb{E}}[(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2] = Var(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})=t_{j+1}-t_j$

也就是說 $(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2$ 雖然隨機但是有很高的概率接近其均值 $t_{j+1}-t_j$

所以如果 $dt$ 都趨於0的時候我們就可以形象的記為 $(dW_t)(dW_t) = dt$

如果求和那麼中間項就抵消變為

$mathop{mathbb{E}}Q_{pi} = sum_{j=0}^{n-1}mathop{mathbb{E}}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2=sum_{j=0}^{n-1}(t_{j+1}-t_j) = T$

而連續平滑的函數的二次變分就是0（不證明了）。

題外話：

$mathrm{Var}Q_Pi ightarrow 0$ 的證明：來自 @葉寒溪

$mathrm{Var}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2 = mathbb{E}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^4 - (t_{i+1}-t_i)^2 = 3(t_{i+1}-t_i)^2-(t_{i+1}-t_i)^2$

(四階矩是因為 $W_{t_{i+1}}-W_{t_i}sim N(0,t_{i+1}-t_i)$ , 正態隨機變數的四階矩是 $3sigma^4$ )，所以有

$mathrm{Var}Q_Pi = 2sum_{i=0}^{n-1}(t_{i+1}-t_i)^2le 2|Pi|sum_{i=0}^{n-1}(t_{i+1}-t_i) = 2|Pi|T ightarrow 0$ .

得出了 @王小北的肥腸好記的回答

樓上都回答得很好了，我就再提供一個方便記憶的式子：
dz～N(0, dt)
(dz)^2～N(dt, 0)

參考文獻：

金融隨機分析-shreve

MIT-OpenCourseWare

Quant Job Interview Questions and Answers --Mark S.Joshi

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