導數

04-08

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預備知識　極限

導數的幾何理解

　　一個一元函數 $y=f(x)$ ，在直角坐標系中表示為一條曲線．在這個曲線的光滑部分取一點 $A$ ，並作其切線．

圖1：點 AA 的切線

　　若切線存在，該切線與 $x$ 軸的夾角的正切值 $heta$ 就叫點 $A$ 的導數．當函數在 $A$ 點遞增時，可能的取值為 $heta in(0,pi/2)$ ，即 $an heta in (0,+infty)$ ．遞減時，取 $hetain(-pi/2,0)$ ，即 $an heta in(-infty,0)$ ．當切線水平時， $heta= an heta=0$ ．

　　若函數曲線在 $x$ 的某一開區間每一點都可導，則這個區間上每一個 $x$ 對應一個導數．將其寫成關於 $x$ 的函數 $g(x)$ ， $g(x)$ 就是該區間上的 導函數．通常將導函數記為以下的一種（後3種記號的來源見下文）

$f(x),quad[f(x)],quaddfrac{mathrm dy}{mathrm dx},quad dfrac{mathrm df}{mathrm dx},quaddfrac{mathrm d}{mathrm dx}f(x)$ (1)

在物理中，常常在物理量上方加一點表示對時間求導（注意僅限於對時間求導），例如 $dot f(t)=mathrm df(t)/mathrm dt$ ．

　　若切線不存在（例如折線的稜角處，但也有其他更複雜的情況），我們說點 $A$ 不可導．

圖2：稜角處不可導

　　若函數曲線在某一點附近是光滑的，那麼在這點附近取一小段，當這一段取得足夠小，可以近似認為它是線段且與切線重合（如下圖）．以這條線段為斜邊，作一直角三角形，令其底邊長為 $mathrm dx$ （在微積分中，通常把非常小的一段 $Delta x$ 記為 $mathrm dx$ ， $mathrm dx$ 是一不能分割的整體符號，而不是兩個量相乘），豎直邊的邊長為 $mathrm dy$ （當函數遞增時， $mathrm dy$ 取正值，反之取負值）．根據上面導數的定義， $mathrm dy/mathrm dx= an heta$ 就是函數的導數．所以導數通常表示為 $mathrm dy/mathrm dx$ ，導數的倒數則為 $mathrm dy/mathrm dx$ ．

圖3：將切點放大，會發現切線和曲線在切點附近「重合」

　　由上面的討論可得，當 $x$ 增加一小段 $Delta x$ 時， $y$ 軸的增量約為 $Delta yapprox f(x)Delta x$ ，且當 $Delta x$ 越小，這條式子就越精確成立，記為 $mathrm dy=f(x)mathrm dx$ ．這個關係就叫函數的微分（看到這裡，你可能會覺得，原來微分這麼簡單！其實「微積分」基本就是在講「微分」和「積分」而一元函數的微分及其基本原理的幾何理解基本上就可以認為是上面這張圖所表示的）．

導數的代數理解

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