淺談交通網路分析中的隨機用戶均衡模型（三）：logit載入模型與probit載入模型

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前面（淺談交通網路分析中的隨機用戶均衡模型（一）：從經典的用戶均衡與系統最優說起），我們已經介紹了經典的用戶均衡模型和系統最優模型，也提到了隨機用戶均衡（stochastic user equilibrium, SUE）的一個重要假設：出行者做路徑選擇時，對每條路徑感知的行駛時間與實際的行駛時間會存在一定的偏差。因此，出行者在路徑選擇時會依照自己的感覺對每條路徑的行駛時間進行預估，同時，選擇某條路徑的概率也就可以等價於該條路徑被出行者選擇的比例。

在離散選擇模型中，隨機效用理論恰好可以描述出行者對路徑的感知時間與實際時間之間的偏差，並且這一偏差的概率分布也決定了我們選擇哪種隨機用戶均衡的載入模型（logit載入模型或是probit載入模型），因此，下面先看看隨機效用模型。

1 隨機效用模型的引入

在交通網路分析中，效用（utility）這一概念通常用來描述個體出行者對於不同備選路徑的偏好，考慮到影響個體路徑選擇行為的隱性因素，可將每條備選路徑的效用都用一個由確定項（deterministic component） $V_{k}{left( vec r ight) }$ 和不確定項（additive random "error term"） $xi_{k}{left(vec r ight) }$ 組成的隨機變數表示， $k$ 表示第 $k$ 條備選路徑，向量 $vec{r}$ 表示影響個體路徑選擇行為的隱性因素，若將對應的效用記為 $U_{k}{(vec r)}$ ，則滿足

$U_{k}{left(vec r ight) } =V_{k}{left(vec r ight) } +xi_{k}{left(vec r ight) } ,forall k$

為了便於量化，引入感知時間（perceived time），OD對 $left( r,s ight)$ 間路徑 $k$ 的感知時間記作 $C_{k}^{rs}$ ，而實際時間（actual time）為 $c_{k}^{rs}$ ，則將出行者的路徑選擇行為簡單地認為是受路徑的行駛時間左右，即

$C_{k}^{rs} =c_{k}^{rs} +xi _{k}^{rs},forall{k,r,s}$

類似地，將路段 $a$ 的感知時間記為 $T_{a}$ ，實際時間記為 $t_{a}left( x_{a} ight)$ ，則

$T_{a} =t_{a} left( x_{a} ight) +varepsilon_{a} ,ain A$

將路徑和路段兩個層面都引入感知時間和實際時間，並了解了如何用隨機效用模型銜接感知時間、實際時間以及兩者的偏差，接下來我們來看看隨機用戶均衡模型。

2 隨機用戶均衡模型的建立

在出行者進行路徑選擇時，將OD對 $left( r,s ight)$ 間路徑 $k$ 的行程時間被相信是最小的概率等價於該條路徑被選中的概率，即

$p_{k}^{rs} =Prleft( C_{k}^{rs}leq C_{l}^{rs} ight) ,forall r,s,k,l$

如果OD對 $left( r,s ight)$ 間的出行人數很高，則 $p_{k}^{rs}$ 可以視為選擇路徑 $k$ 的人數佔總人數的百分比，此時，路徑流量可以寫成：

$f_{k}^{rs} =q^{rs} p_{k}^{rs} ,forall r,s,k$

而路段-路徑恆等條件則與用戶均衡中的保持一樣，即

$x_{a} =sum_{rs}{sum_{l}{f_{l}^{rs}delta _{al}^{rs} } } ,ain A$

實際上，這三條公式構成的方程組就是隨機用戶均衡的條件，但求解這個方程組是非常困難的，一般採用的方法是解一個等價的無約束極小值問題，這個極小值問題的解就是隨機用戶均衡的解，這樣的極小值問題是

$min Zleft( vec x ight) =-sum_{rs}{q^{rs} Eleft[ min_{k}{left( C_{k}^{rs} ight)|c^{rs} left( vec x ight) } ight] } +sum_{ain A}{x_at_aleft( x_a ight) } -int_{0}^{x_a} t_aleft( w ight) dw$

其中， $Eleft[ min_{k}{(C_{k}^{rs}) } |c^{rs}left( vec x ight) ight]$ 是隨機變數 $min_{k}{left( C_{k}^{rs} ight) }$ 的條件期望（也稱為出行者路徑選擇的滿意度）， $c^{rs} left( vec x ight)$ 是OD對 $left( r,s ight)$ 間的路徑實際時間向量，該等價問題的解是唯一的。另外，根據概率論知識，我們會發現 $frac{partial Eleft[ min_{k}{(C_{k}^{rs}) } |c^{rs}left( vec x ight) ight] }{partial C_{k}^{rs}} =p_{k}^{rs}$ 是恆成立的。

在隨機用戶均衡模型中，OD對 $left( r,s ight)$ 間路徑 $k$ 被出行者選中的概率 $p_{k}^{rs}$ 是區別logit載入模型和probit載入模型的關鍵，需要注意的是，上述的隨機用戶均衡模型不能狹義的認為是probit載入模型。最後，我們來分別介紹一下隨機用戶均衡中的logit載入模型和probit載入模型兩大模型。

3 probit載入模型

probit載入模型首先假設路段的感知時間 $T_a$ 服從均值為實際時間 $t_{a}$ ，方差為 $eta t_{a}$ 的正態分布，即 $T_asim Nleft( t_a, eta t_a ight)$ ，其中， $eta$ 表示單位感知時間的方差（這一方差也可以認為是係數，沒有單位）。

在OD對 $left( r,s ight)$ 間，對於任意一條路徑 $k$ 而言，路段和路徑之間的感知時間滿足 $C_{k}^{rs}=sum_{ain A}{T_{a} delta_{ak}^{rs} }$ （即路徑 $k$ 的感知時間等於所途徑路段的感知時間之和），如果所途徑路段的感知時間都獨立同分布於正態分布，則路徑的感知時間 $C_{k}^{rs}$ 也是服從正態分布的隨機變數，即

$C_{k}^{rs} sim Nleft( c_{k}^{rs} ,eta c_{k}^{rs} ight)$

一旦路徑感知時間的概率密度函數（即路段實際時間 $t_{a}$ 和單位感知時間的方差 $eta$ ）確定，則該條路徑被選中的概率 $p_{k}^{rs}$ 也就知道了，這樣，probit載入模型就能夠將OD對 $left( r,s ight)$ 間的流量分配到各條路徑上。

4 logit載入模型

在路徑感知時間 $C_{k}^{rs} =c_{k}^{rs} +xi _{k}^{rs} ,forall r,s,k$ 中，當誤差項 $xi _{k}^{rs}$ 是獨立同分布的、服從Gumbel分布的隨機變數時，則路徑 $k$ 的選擇概率就可以用離散選擇模型中的logit模型來描述，即

$p_{k}^{rs}=frac{expleft( - heta c_{k}^{rs} ight) }{sum _{l} expleft(- heta c_{l}^{rs} ight)} ,forall r,s,k,l$

此時，隨機用戶均衡模型等價的凸規劃問題可以寫成：

$min Zleft( vec f ight) =frac{1}{ heta} sum _{rs} sum _{l}f_{l}^{rs} lnleft( f_{l}^{rs} ight) +sum_{a in A}int_{0}^{x_{a}} t_{a}left( w ight) dw$

$s.t.$ $sum_{l}f_{l}^{rs}=q^{rs},forall r,s$ ， $x_{a}=sum_{rs} sum_{l} f_{l}^{rs} delta_{al}^{rs},a in A$ ， $f_{k}^{rs}geq 0,forall r,s,k$ .

在該凸規劃模型中，可以明顯看到，目標函數第一項 $sum _{rs} sum _{k}f_{k}^{rs} lnleft( f_{k}^{rs} ight)$ 實際上表示路徑流的「熵」（entropy），而目標函數第二項 $sum_{a in A}int_{0}^{x_{a}} t_{a}left( w ight) dw$ 則與用戶均衡模型中的目標函數完全相同，就連約束條件都與用戶均衡模型完全相同，大家可能會問為什麼可以等價成這個數學表達式呢？僅僅是目標函數多出一個「熵」項就能說明它是隨機用戶均衡嗎？

實際上，這個等價過程並不複雜，可以採用我們所熟悉的拉格朗日乘數法來證明，令 $u^{rs},forall r,s$ 為運算元，並作用於路徑和OD對之間的流量恆等約束，則拉格朗日函數為

$Lleft( vec f, vec u ight) =Zleft( vec f ight) +sum_{rs}u^{rs}left( sum_{l}f_{l}^{rs}-q^{rs} ight)$

再令拉格朗日函數 $Lleft( vec f, vec u ight)$ 對OD對 $left( r,s ight)$ 間路徑 $k$ 流量 $f_{k}^{rs}$ 求偏導，得

$frac{partial Lleft( vec f, vec u ight) }{f_{k}^{rs}} =frac{1}{ heta}left( ln f_{k}^{rs}+1 ight) +sum_{a in A}t_{a} left( x_{a} ight) delta_{ak}^{rs}+u^{rs}$

由於 $sum_{a in A}t_{a} left( x_{a} ight) delta_{ak}^{rs}=c_{k}^{rs}$ ，路徑 $k$ 上的實際時間等於該路徑上的所有路段實際時間的累加，則

$frac{partial Lleft( vec f, vec u ight) }{f_{k}^{rs}} =frac{1}{ heta}left( ln f_{k}^{rs}+1 ight) +c_{k}^{rs}+u^{rs}$

若 $frac{partial Lleft( vec f, vec u ight) }{f_{k}^{rs}} =0$ ，則此時的路徑 $k$ 流量為

$f_{k}^{rs}=exp left(-1- heta u^{rs} ight)exp left( - heta c_{k}^{rs} ight)$

OD對 $left(r,s ight)$ 的流量為

$q^{rs}=sum_{l}f_{l}^{rs}= exp left(-1- heta u^{rs} ight)sum_{l}exp left( - heta c_{l}^{rs} ight)$

如果OD對 $left( r,s ight)$ 間的出行人數很高，則 $p_{k}^{rs}$ 可以視為選擇路徑 $k$ 的人數佔總人數的百分比，即

$p_{k}^{rs}=frac{exp left( - heta c_{k}^{rs} ight)}{sum_{l}exp left( - heta c_{l}^{rs} ight)}$

這樣就恰好得到了前面提到的logit模型。另外，由於logit載入模型更易操作，故很多針對隨機用戶均衡模型的改進都是在logit模型的基礎上進行的。

5 推薦閱讀

本文主要參考了城市交通網路分析的兩部經典著作，第一部是Yosef Sheffi（現名：Yossi Sheffi）於1985年出版的著作《Urban transportation networks: equilibrium analysis with mathematical programming methods》（鏈接：Urban Transportation Networks:），第二部是Michael Patriksson於1994年出版的著作《The traffic assignment problem: models and methods》。

備註：全文僅僅是讀書筆記，如有不當之處，敬請指正。