希爾伯特空間無限維空間 內積空間完備的空間 膜世界高次元空間 基底量子力學表象 態狄拉克符號

【前沿理論的基礎：淺談希爾伯特空間的認識】

據說，愛因斯坦最初花了近七年的時間構思「廣義相對論」而不可得。但在一次與希爾伯特的會談中，他自「希爾伯特空間」理論中發現 了突破瓶頸的關鍵。後來僅花短短兩周的時間，便完成了「廣義相對論」。聰明的愛因斯坦都發現了某種妙處，我們不能不重視吧。

什麼是希爾伯特空間？簡單而言，就是多維抽象空間。對一般人而言，「空間」是日常活動的領域。而對數學家而言，「空間」則屬於數學中幾何學探討的領域。在幾何學中，線、面及立體之間的差異在於定義的次元數 不同。只能進行前、後移動的世界稱為一次元世界，在這樣的世界中，萬事萬物只被允許進行單一方向的移動；而在二次元的世界中，物質可以進行「前後」、「左 右」兩種方向的移動；至於在三次元的世界中，物質可以進行「前後」、「左右」、「上下」三種方向的移動。因此，在N次元的世界中，物質可進行N個方向的移 動。因此，用比較專業的理論術語來說，希爾伯特空間就是高次元空間。

全面搞懂希爾伯特空間的理論和運用，那絕對需要理論物理博士的水平，而且還一定要是畢了業的博士生，沒畢業的博士可能就是因為搞不懂希爾伯特空間的緣故。

本人想搞懂，但確實搞不懂，但作為物理愛好者，只能談一點外圍看法。

１）來歷：大衛?希爾伯特在對積分方程的研究中研究了希爾伯特空間。馮?諾伊曼在其1929年出版的關於無界厄米運算元的著作中，最早使用了「希爾伯特空間」這個名詞。隨後，「希爾伯特空間」這個名字已經迅速被其他科學家所接受。

２）劃分：希爾伯特空間分為數學希爾伯特空間和物理學希爾伯特空間。 數學希爾伯特空間 希爾伯特空間是歐幾里得空間的一個推廣，其不再局限於有限維的情形。與歐幾里得空間相仿，希爾伯特空間也是一個內積空間，其上有距離和角的概念（及由此引伸而來的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空間還是一個完備的空間，其上所有的柯西列等價於收斂列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基於任意正交繫上的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公設化數學的關鍵性概念之一。 物理學希爾伯特空間 希爾伯特空間也是量子力學的關鍵性概念之一。一個抽象的希爾伯特空間中的元素往往被稱為向量。在實際應用中，它可能代表了一列複數或是一個函數。例如在量子力學中，一個物理系統可以表示為一個復希爾伯特空間，其中的向量是描述系統可能狀態的波函數。詳細的資料可以參考量子力學的數學描述相關的內容。量子力學中由平面波和束縛態所構成的希爾伯特空間，一般被稱為裝備希爾伯特空間（rigged Hilbert space）。 數學希爾伯特空間的描述較物理學希爾伯特空間邊界條件更嚴謹，而物理學希爾伯特空間比數學定義廣義些，物理學希爾伯特空間還可以分為量子力學和宇宙學希爾伯特空間兩類描述。

３）比較：一般而言，歐幾里得空間是一個實空間，來源於對空間的直觀，但是希爾伯特空間卻是一個復空間，是一個抽象的空間。

４）意義：希爾伯特空間是可以把量子概率論與愛因斯坦廣義相對論及米-楊統一規範場驗明正身的有力武器，希爾伯特空間也是串起線性和非線性分析(包括分形-混沌理論) 的數學工具之一，傅里葉變幻可以看作復希爾伯特空間函數分析的一個特解。

５）有關理論和運用的具體內容：因『眼花＋頭痛』，故省略。。。。。。萬字元。

６）淺識： ６.１：希爾伯特空間雖是多維抽象空間，但與歐幾里得空間有「血緣」，是某種「進化」的表現，故此，其理論意義和價值很大。 ６.２：量子力學的五大假設都可以通過希爾伯特空間來描述。因此，量子力學不再「零散」，而是量子力學原理在希爾伯特空間中得到了理論上的統一。 ６.３：在相對論方面的意義 高次元空間理論則在如蟲洞、時光機等能時空機器上提供了一些美麗遐想（在歷久不衰的時光旅行理論中，主要也是由廣義相對論演繹而出的蟲洞理論）。史蒂芬霍金 在「胡桃里的宇宙」一書中認為，在高次元時空中存在眾多四次元曲面，此種曲面稱為膜世界。這些「膜」有些自然而然就會消失；有些則會不斷地膨脹直到形成如 氣球般的膜泡，此膜泡就是我們生存的宇宙。至於存在於宇宙間的一切，不過是膜泡內部投射於這片「膜」上的信息而已。或許自宇宙誕生直到現在所曾經存在的一切，是此膜泡麵上所投射的信息疊加。換言之，從古到今的每一個時間點都是一片膜，而每一片膜相重疊就構成了「歷 史」。如果想進行時空旅行，就設法使投射「自己」的那些信息轉而投射至其他的膜上，也就是探討跨次元的移動了。想要進行次元間的移動，就必須有能力在至少 比該次元更高一次元的世界中活動。舉例說明：分別住在兩條不相交的線（P1，P2）上的一次元居民，基本上只能前後移動，所以不會有所交集。但要是有一個 能在二次元活動的居民能將P1平移至另一條在線，那就有機會碰面了。

７）淺論：

由此，我們似乎可以得出一個淺而易見的結論，即：

因為希爾伯特空間是一個模有限的無限維複線性空間，我們無法具體去描述這個無限維的複線性空間是一個怎樣的空間，因此我們常說它是一個抽象空間。又由於在希爾伯特空間中基底的選擇不同，「某某對象」可有不同的表象。所以，「翻手為雲，覆手為雨」成為理論中的可能，就看誰的「造化好」－－使用得「當」，適應也自然「當」。

希爾伯特空間在量子力學中的理論意義 由於在希爾伯特空間中基底的選擇不同，使的量子力學有不同的表象，在希爾伯特空間中每種力學量都有一種對應的表象，我們常見的表象有動量表象，坐標表象，能量表象，福克表象等等，在不同的表象中力學量算符和態矢有不同的表示形式；另外當我們對時間演化的處理方法不同時，又可以使量子力學有不同的繪景，在不同的繪景中我們又可以寫出與物質運動規律所對應的不同形式的運動方程，薛定諤和海森伯給我們描繪了兩種繪景，使得我們量子力學有兩種表述，一個是海森伯矩陣力學，出發點是海森伯運動方程,另一種是薛定諤波動力學，出發點是薛定諤運動方程。

狄拉克總結了海森伯的用矩陣表示力學量的做法和薛定諤的按照德布羅意思想而在原子理論中引入了的態的概念，在希爾伯特空間中提出了自己獨特的表述量子論的數學形式——符號法，使量子論成為嚴密的理論體系，很快，他用自己的一套表示形式，很多地方被稱為「神來之筆」的右矢和左矢，簡潔而深刻的反映了量子力學中力學量和態矢之間的關係，把 數的對易關係類比於經典中的泊松括弧，把矩陣力學納入哈密頓公式體系，建立起非相對論量子力學中的普遍變換理論，並用之證明了海森伯，薛定諤的兩種表述形式是等價的。 希爾伯特空間是我們研究微觀世界的空間，當我們在這個數學的空間中定義了某種表示規則——符號法，用抽象的方式直接地處理有根本重要意義的一些量，它可以使我們用簡潔精練的方式來表達物理規律，整個量子力學理論就在希爾伯特空間中建立起來了。

總之，理論物理界普遍如此看待：希爾伯特空間是一抽象的空間，如果在希爾伯特空間中選擇不同的基底，就可以使量子力學原理有不同的表象，研究希爾伯特空間中的量子力學，首先需要弄清楚的是不同表象中的量子力學理論，以及表象與表象之間的關係。當規定了量子力學基本原理在希爾伯特空間中的基本表示形式後，就等於有了一種確定的語言，這種語言就是狄拉克符號。在結合不同表象下不變的基本關係——對易關係，量子力學理論就可以在希爾伯特空間中以抽象的形式基本建立起來了，就可以在這個空間中研究求解具體的問題。

量子力學原理在希爾伯特空間中的表示形式

用波函數來描述微觀粒子的運動狀態，所以量子力學主要要解決的問題。關於波函數的形式的問題。在希爾伯特空間波函數一般用態矢來描述。 關於量子力學的第二個基本假設，波動力學中的態疊加原理，在希爾伯特空間中也有與之相對應的形式，是用狄拉克算符所寫出的形式。關於量子力學的第三個基本假設，力學量用線性厄米算符來表示，我們在希爾伯特空間中定義了一種普遍的厄米算符。 關於量子力學的第四個基本假設，之前我們是用薛定諤方程來描述的，現在我們知道由於對時間演化的處理方法不同，可以使量子力學有不同的繪景，在這些繪景中，我們可以分別寫出描述粒子運動的形式。 關於量子力學的第五個基本假設，在希爾伯特空間中，我們可以用福克表象來描述它。

高維空間只能存在於人的大腦中，也就是存在於人的思維中，真實的物理空間只能是三維的，時間維不能成為現實空間的一個維度。人的思維是可以把一個問題看成是一個維，把n個問題構成一個n的維度來進行處理。解n個變數的聯立方程,就是n維空間的問題。

有很多人，沒頭腦，3維是伽利略之流的么，4維是愛因斯坦之流的么，5維是希爾伯特之流的么。

3維是3直角坐標，自帶時間；4維的，三直角坐標帶一時間獨立維，是伽變之流強加給愛因斯坦的；真正的4維，3坐標自帶時間維與坐標之外的自帶時間的一維，才是愛因斯坦相對論的本意本質，才祘是靈感希爾伯特之意。

五維，實質是空間里的三維各自帶時間，可成了六維；若解成各自三坐標帶四維時間，就成了12維。

===================================================

理解數學空間，從距離到希爾伯特空間

原創 2016年04月03日 21:42:09理解數學空間，從距離到希爾伯特空間 - CSDN博客

在數學中有許多空間表示，比如歐幾里德空間、賦范空間、希爾伯特空間等。這些空間之間有什麼關係呢？

首先要從距離的定義說起。

什麼是距離呢？實際上距離除了我們經常用到的直線距離外，還有向量距離如

， 函數距離如、 曲面距離、折線距離等等，這些具體的距離與距離之間的關係類似於蘋果、香蕉等與水果的關係，前面是具體的事物，後面是抽象的概念。距離就是一個抽象的概念，其定義為：

設X是任一非空集，對X中任意兩點x,y，有一實數d(x,y)與之對應且滿足：

1. d(x,y)

0，且d(x,y)=0當且僅當x=y;

2. d(x,y)=d(y,x);

3. d(x,y)

d(x,z)+d(z,y)。

稱d(x,y)為X中的一個距離。

定義了距離後，我們再加上線性結構，如向量的加法、數乘，使其滿足加法的交換律、結合律、零元、負元；數乘的交換律、單位一；數乘與加法的結合律（兩個）共八點要求，從而形成一個線性空間，這個線性空間就是向量空間。

在向量空間中，我們定義了範數的概念，表示某點到空間零點的距離：

1. ||x||

0;

2. ||ax||=|a|||x||;

3. ||x+y||

||x||+||y||。

將範數與距離比較，可知，範數比距離多了一個條件2，數乘的運算，表明其是一個強化了的距離概念。範數與距離的關係可以類似理解為與紅富士蘋果與蘋果的關係。

接下來對範數和距離進行擴展，形成如下： 範數的集合

賦范空間+線性結構

線性賦范空間

距離的集合

度量空間+線性結構

線性度量空間

下面在已經構成的線性賦范空間上繼續擴展，添加內積運算，使空間中有角的概念，形成如下： 線性賦范空間+內積運算

內積空間；

這時的內積空間已經有了距離、長度、角度等，有限維的內積空間也就是我們熟悉的歐氏空間。

繼續在內積空間上擴展，使得內積空間滿足完備性，形成希爾伯特空間如下： 內積空間+完備性

希爾伯特空間

其中完備性的意思就是空間中的極限運算不能跑出該空間，如有理數空間中的

的小數表示，其極限隨著小數位數的增加收斂到

，但

屬於無理數，並不在有理數空間，故不滿足完備性。一個通俗的理解是把學校理解為一個空間，你從學校內的宿舍中開始一直往外走，當走不動停下來時（極限收斂），發現已經走出學校了（超出空間），不在學校範圍內了（不完備了）。希爾伯特就相當於地球，無論你怎麼走，都還在地球內（飛出太空除外）。

此外，前面提到的賦范空間，使其滿足完備性，擴展形成巴拿赫空間如下：

賦范空間+完備性

巴拿赫空間

以上均是在距離的概念上進行添加約束形成的，遞增關係如下： 距離

範數

內積

向量空間+範數

賦范空間

線性結構

線性賦范空間+內積運算

內積空間+完備性

希爾伯特空間

內積空間+有限維

歐幾里德空間

賦范空間

完備性

巴拿赫空間

順便提以下，對距離進行弱化，保留距離的極限和連續概念，就形成拓撲的概念。

===============================================

希爾伯特空間

編輯

本詞條由「科普中國」百科科學詞條編寫與應用工作項目 審核 。

在數學中，希爾伯特空間是歐幾里德空間的一個推廣，其不再局限於有限維的情形。與歐幾里德空間相仿，希爾伯特空間也是一個內積空間，其上有距離和角的概念（及由此引申而來的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空間還是一個完備的空間，其上所有的柯西序列等價於收斂序列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基於任意正交繫上的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公式化數學和量子力學的關鍵性概念之一。[1]

中文名希爾伯特空間外文名Hilbert space性 質歐幾里德空間的一個推廣特 點其上有距離和角的概念提出者大衛·希爾伯特性 質內積空間應 用公式化數學、量子力學

目錄

1. 1 人物簡介
2. 2 定義
3. 3 應用
4. 4 原理
5. 5 相關換算

人物簡介

編輯

大衛·希爾伯特(David Hilbert，1862～1943）德國數學家,生於東普魯士哥尼斯堡(前蘇聯加里寧格勒）附近的韋勞。中學時代，希爾伯特就是一名勤奮好學的學生，對於科學特別是數學表現出濃厚的興趣，善於靈活和深刻地掌握以至應用老師講課的內容。1880年，他不顧父親讓他學法律的意願，進入哥尼斯堡大學攻讀數學。1884年獲得博士學位，後來又在這所大學裡取得講師資格和升任副教授。1893年被任命為正教授，1895年，轉入哥廷根大學任教授，此後一直在哥廷根生活和工作，於1930年退休。在此期間，他成為柏林科學院通訊院士，並曾獲得施泰訥獎、羅巴切夫斯基獎和波約伊獎。1930年獲得瑞典科學院的米塔格-萊福勒獎，1942年成為柏林科學院榮譽院士。希爾伯特是一位正直的科學家，第一次世界大戰前夕，他拒絕在德國政府為進行欺騙宣傳而發表的《告文明世界書》上簽字。戰爭期間，他敢於公開發表文章悼念"敵人的數學家"達布。希特勒上台後，他抵制並上書反對納粹政府排斥和迫害猶太科學家的政策。由於納粹政府的反動政策日益加劇，許多科學家被迫移居外國，曾經盛極一時的哥廷根學派衰落了，希爾伯特也於1943年在孤獨中逝世。

希爾伯特空間以大衛·希爾伯特的名字命名，他在對積分方程的研究中研究了希爾伯特空間。馮·諾伊曼在其1929年出版的關於無界厄米運算元的著作中，最早使用了「希爾伯特空間」這個名詞。馮·諾伊曼可能是最早清楚地認識到希爾伯特空間的重要性的數學家之一，他在進行對量子力學的基礎性和創造性地研究的時候認識到了這一點。此項研究由馮·諾伊曼與希爾伯特和朗道展開，隨後由尤金·維格納（Template:Lang）繼續深入。「希爾伯特空間」這個名字迅速被其他科學家所接受，例如在外爾1931年出版的著作《群與量子力學的理論》（Template:Lang）中就使用這一名詞。

定義

編輯

希爾伯特空間是歐幾里德空間的直接推廣。對希爾伯特空間及作用在希爾伯特空間上的運算元的研究是泛函分析的重要組成部分。

設H是一個實的線性空間，如果對H中的任何兩個向量x和y，都對應著一個實數，記為(x，y)、滿足下列條件：

①對H中的任何兩個向量x，y，有(x，y)=(y，x);

②對H中的任何三個向量x、y、z及實數α、β，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z);

③對H中的一切向量x，均有(x，x)≥0，且(x，x)=0的充分必要條件是x=0。則(x，y)稱為是H上的一個內積，而H稱為內積空間。

如果定義

，則在‖0‖下，H構成一個線性賦范空間。

完備的內積空間稱為希爾伯特空間，希爾伯特空間的概念還可以推廣到複線性空間上。

歐幾里德空間是希爾伯特空間的一個重要特例，希爾伯特空間的另一個最重要的特例是L(G)，設G是n維歐幾里德空間中的一個有界閉域， 定義在G上的滿足?G|f(x)|dx<+∞的勒具格可測函數全體記為L(G)，在L2(G)中引入內積(f，g)=?Gf (x)g(x)dx，則L(G) 是一個希爾伯特空間，L(G)是實用中最重要和最常用的希爾伯特空間。

希爾伯特空間有許多與歐幾里德空間相似的性質，例如，在希爾伯特空間中，可以定義向量正交、正交和、正交投影的概念，柯西一許瓦茲不等式成立、勾股定理和投影定理成立。在可分希爾伯特空間中，存在著完全的標準正交系，希爾伯特空間中的任一向量可以依任一完全的標準正交系分解。

在泛函分析中，詳細地研究了希爾伯特空間自共軛運算元的理論，特別是自共軛運算元的譜理論，這一理論在經典數學的不少領域中有廣泛的應用。需要特別指出的是，自共軛運算元的譜理論，為量子力學的發展，提供了適合的工具。

理論數學、應用數學和物理中的許多問題，在希爾伯特空間中，可得到較好的處理，因此，希爾伯特空間成為泛函分析中最重要的和最常用的一類空間，它在許多其他數學分支、理論物理和現代工程技術理論中，也得到了廣泛的應用。 [2]

應用

編輯

一個抽象的希爾伯特空間中的元素往往被稱為向量。在實際應用中，它可能代表了一列複數或是一個函數。例如在量子力學中，一個物理系統可以被一個復希爾伯特空間所表示，其中的向量是描述系統可能狀態的波函數。詳細的資料可以參考量子力學的數學描述相關的內容。量子力學中由平面波和束縛態所構成的希爾伯特空間，一般被稱為裝備希爾伯特空間（rigged Hilbert space）。[3]

原理

編輯

在一個實向量空間或復向量空間H上的給定的內積 < x,y > 可以按照如下的方式導出一個範數（norm）：

。

如果其對於這個範數來說是完備的，此空間稱為是一個希爾伯特空間。這裡的完備性是指，任何一個柯西序列都收斂到此空間中的某個元素，即它們與某個元素的範數差的極限為0。任何一個希爾伯特空間都是巴拿赫空間，但是反之未必。

任何有限維內積空間（如歐幾里德空間及其上的點積）都是希爾伯特空間。但從實際應用角度來看，無窮維的希爾伯特空間更有價值。

內積可以幫助人們從「幾何的」觀點來研究希爾伯特空間，並使用有限維空間中的幾何語言來描述希爾伯特空間。在所有的無窮維拓撲向量空間中，希爾伯特空間性質最好，也最接近有限維空間的情形。

傅立葉分析的一個重要目的是將一個給定的函數表示成一族給定的基函數的和（可能是無窮和）。這個問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為：任何一個希爾伯特空間都有一族標準正交基，而且每個希爾伯特空間中的元素都可以唯一地表示為這族基中的元素或其倍數的和。[4]

相關換算

編輯

n維歐幾里得空間的推廣，可視為「無限維的歐幾里得空間」，是泛函分析的重要研究對象之一。在三維歐幾里得空間中，任何兩個向量之間規定了一個內積，它是建立三維歐幾里得幾何學的基礎。有了內積，就有向量的長度、兩個向量的交角和向量到直線或平面上的投影等等。這些普通而重要的幾何概念及相應的研究方法，不僅被推廣到n維空間，而且在許多不同的領域，例如積分方程、數學物理、三角級數或更一般的正交級數等理論中，被推廣到由函數構成的無限維空間上去，成為研究有關問題的有力工具。第一個具體的希爾伯特空間最早是由D.希爾伯特在研究積分方程時首先提出的。他在平方可積的無窮實數列{xn}全體所組成的空間l中規定了內積，把空間l看作歐幾里得空間向無限維的推廣，從而有效地解決了一類積分方程求解及其本徵展開的問題。不久，人們就建立了一般的希爾伯特空間理論，到20世紀30年代已取得了豐富的成果。希爾伯特空間在分析數學的各個領域中有著深厚的根基，也是描述量子物理的基本工具之一，它已經被廣泛地應用於數學和物理的各個分支，如積分方程、微分方程、

過程、函數論、調和分析、數學物理及量子物理學等等。關於希爾伯特空間及其上的運算元理論仍然是泛函分析的重要課題之一。

內積空間和希爾伯特空間

設H是實數域或複數域C上的線性空間，如果對於H中任何兩個向量x和y都對應著一個數（x,y）∈C，並且滿足下列條件：①正定性，對一切x∈H，（x,x）≥0，而且（x,x)=0當且僅當x=0；②線性，對x，y，z∈H和α，β∈C，成立（αx+βy，z)=α（x,z)+β(y,z）；③（共軛）對稱性，對x，y∈H成立（x,y）=(y,x)（實數域）或(x,y)=(y,x)的共軛（複數域）；則稱（x,y）為H中x,y的一個內積。定義了

公式

內積的空間H稱為內積空間。在內積空間H中定義函數||x||=<x,x>的開方為x的範數（‖x‖即x的「長度」），這時，H成為一個賦范空間。如果作為賦范空間，H是完備的（見巴拿赫空間），就稱H為希爾伯特空間。作為希爾伯特空間的例子，除了歐幾里得空間和l空間以外，還有勒貝格平方可積函數空間 L^2[α,b]（其中內積規定為（f,g）=f(t)g(t)(實數域)或f(t)乘以g(t)的共軛（複數域）在(α，b）區間的積分，而α，b也可為無限大）。在數學物理中越來越多地使用各種類型的希爾伯特空間。

平行四邊形公式和柯西-施瓦茨不等式

在內積空間中，由內積導出的範數必滿足類似於平面幾何學中的平行四邊形公式，即對H中任何x、y，

||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)；

反之，一個賦范線性空間H，若它的範數滿足上述平行四邊形公式，則這個範數必是由定義在H上的某個內積導出的範數。

內積還有重要的柯西-施瓦茨不等式：|(x,y)|<=||x||*||y||[5] 。

正交與勾股定理

在希爾伯特空間H中，如果x，y滿足（x,y)=0，就稱x和y正交（或直交），記為x⊥y。當x⊥y時，成立勾股定理：||x+y||^2=||x||^2+||y||^2。如果x和H的子集M中任何元都正交，就稱x和M正交，記為x⊥M。與M正交的所有元素的集合記為M寑。

投影定理

希爾伯特空間理論中的一個基本定理。設M是希爾伯特空間H的凸閉子集，則對H中每個向量x，必存在M中惟一的y，使得||x-y||取到y在M中變化時的最小值。這個性質稱為變分定理。特別，當M是H的閉線性子空間時，z=x-y必與M正交，即對於閉線性子空間M，分解x=y+z不僅惟一，而且z⊥y。這就是投影定理。其中，y稱為x在M中的投影（分量）。因為x在M上的投影y是達到極小值的惟一解，所以這個結果不僅在理論研究中，而且在很多應用性科學，如近似理論（包括有限元方法）、預測理論、最優化等多方面均有著廣泛的應用。

正交系

設{ek}是內積空間H中一族彼此不同的向量，如果其中任何兩個向量都正交，即當k≠j時，（ek，ej)=0，則稱{ek}是一正交系；如果其中每個向量的範數又都是1，即對一切k，（ek,ek)=1，則稱{ek}是規範正交系。對於希爾伯特空間H的規範正交系{ek},如果包含{ek}的最小閉子空間就是H，就稱{ek}為H的完備規範正交系。設{ek}是規範正交系，則H中任一向量 x在ek方向的投影，即x在{ek}生成的一維子空間上的投影，就是Σ（x,ek)ek；而x在{ek}生成的閉子空間M上的投影就是H。顯然有||x||^2<=Σ|(x,ek)|^2，即向量 x在某個子空間M上的分量「長度」永不超過x的長度，它稱為貝塞爾不等式。如果{ek}是完備規範正交系，那麼成立著

x=Σ(x,ek)ek（傅里葉展式），

||x||^2=Σ|(x,ek)|^2（帕舍伐爾等式）。

傅里葉展開是古典分析中傅里葉級數或一般正交級數展開的推廣。

里斯表示定理

希爾伯特空間H上每個連續線性泛函F，對應於惟一的y∈H，使F(x)=(x,y），並且||F||=||y||，這就是里斯的連續線性泛函表示定理。因此，希爾伯特空間的共軛空間與自身（保持範數不變地）同構（實際上是一種共軛線性同構），即H=H*。這個結果在希爾伯特空間運算元理論中具有很重要的作用。[2]

==========================================================================

你能定義什麼是hilbert空間嗎？

已有 7343 次閱讀 2015-1-26 04:37 |個人分類:物理|系統分類:科普集錦

2006年的一天，舍友蔡子告訴我一個段子。他們組一個師兄到北京某高校找工作。那個學校的理科規模可能不是很大，所以數學系和物理系在一起，合起來算在理學院里。院長是個搞數學的。可能院長看他是學物理的，便問，你知道hilbert空間的定義嗎？結果這個師兄答不上來，雖然搞量子力學的天天面對hilbert空間。

這個段子讓我笑不起來，因為我也不知道什麼是hilbert空間，儘管我跟那個師兄一樣，頭腦里對hilbert空間有個大概的印象。

事實上，我很清楚地記得在本科剛開始學量子力學的時候，教材上的hilbert空間的定義有一點讓我特別困惑。為什麼是平方可積？為什麼指數恰恰是2，不是1，或者3，或者其他某個實數？為什麼是波函數的平方代表幾率分布？波函數的絕對值為什麼就不能夠代表幾率分布，或者波函數的絕對值的四次方為什麼就不能夠代表幾率分布？為什麼偏偏是2？

類似的疑問其實更早在我學線性代數的時候就有了。為什麼（傾向於）定義一個向量的模為各分量的平方和再取根號？

這些疑問直到好幾年後我對泛函分析有了初步了解後才消失。確實，如果我們只想給每一個波函數定義一個模（norm，範數）的話，指數p完全可以是1，或者3，或者任何其他的大於等於1的實數。實際上，這就是所謂的勒貝格範數：

但是，問題是，對於一般的p，這樣定義的範數並非來自於一個內積！因為這樣的範數不滿足平行四邊形法則。一個內積可以誘導出一個範數，而反過來一個範數卻不一定能夠誘導出一個內積。內積涉及到兩個向量，而範數只涉及到單個向量。只有有了內積，才有向量正交，正交投影等概念。對於一般的p，我們僅僅得到一個banach空間，在這個空間里兩個向量是否正交沒有任何意義。而只有當p=2，這個banach空間才能升格為一個hilbert空間，我們才能開始談向量之間的內積，才有正交投影，才有測量幾率。

當年，在schroedinger剛剛提出他的方程的時候，包括他本人在內，很多人都不明白波函數是否具有某種物理意義，還是僅僅只是計算能級的一個輔助工具。後來得了獎的rabi在當時是個研究生。他很快看懂了schroedinger的文章，並且仿照schroedinger的辦法，通過解schroedinger方程計算了對稱陀螺的能級。

http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.29.262

但是， 他不明白波函數的物理意義。好在這點很快被born解決。born提出了他的波函數的幾率解釋------波函數的模方就是粒子出現的幾率。不曉得born當初是否對取平方有過慎重的思考。不過，如果他的數學足夠好，他應該有信心就是應該取平方，而不是波函數絕對值，或者其他。數學可以告訴他物理學的規律應該是什麼樣子。當然了，科學的發展從來都不是依照邏輯進行的。事實上，量子力學的數學基礎（也就是泛函分析）並不比量子力學本身早出現。量子力學的出現恰恰大大促進了泛函分析的發展。von neumann對泛函分析貢獻很大，而他的工作動機基本上都來自量子力學。

末了，hilbert空間的定義是：完備的內積空間。這裡的完備性值得注意。曾經見一個馬普所的group leader在一個給數學系物理系合開的mini-course里將完備性定義為，如果A，B屬於空間，那麼A+B屬於空間。不知道數學系的學生是否感到詫異。

推薦閱讀：