從1+1到混沌 | Mathematica系列教程·第一集

為什麼要學習Mathematica？在一些科研工作中，「敏捷」是非常重要的。有的時候，一個點子想出來了，如果覺得自己半個小時就能驗證，那大多數人就會立刻去做；而若是覺得這個點子需要大量的時間來驗證，心生畏懼，可能就會拖著、甚至不做。這樣就會產生非常大的效率差異。（有研究證實，Mathematica的平均代碼量，正比於C語言代碼量的開根號）

視頻教程

註：視頻教程中會有更多細節，建議以視頻為主，文稿為輔。

【從1+1到混沌】Mathematica科學計算教程 第一集_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili?

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文字概要

大家好，這是我們的第一節Mathematica課程。在每一節課程中，我都會用一個完整的例子，來教大家學習Mathematica的常用操作。

我們知道，在風雨、雷電，這些自然現象的背後，可能存在著非常簡潔的物理學規律。但精確的天氣預報卻一直是一個難題，在四十年前，七天天氣預報的準確度在40%左右徘徊，時至今日，準確度也剛剛超過了「及格線」——60%。

而預報的困難，來自於「混沌」。一個「混沌系統」，對於初值非常敏感，而由於計算技術的限制，誤差總是不可避免，因此，我們對混沌系統，是無法作出長期、精確的預測的。而氣象體系，恰恰是一個混沌、複雜的系統。

在近六十年之前，Lorenz在研究大氣對流的時候，發現自己列出的方程組，對初值非常敏感，一點點擾動，就會在後期，產生巨大的差異。這就是著名的「洛倫茲系統（Lorenz System）」。而要能研究這類系統，就需要使用計算機去處理微分方程，對計算結果進行可視化處理。而Mathematica，則是進行這些工作的絕佳選擇。

這是我們的第一節Mathematica課程，我想以洛倫茲系統為引子，來介紹基本的Mathematica操作。包括軟體的基本操作與設置，常用的代碼。同時，我會介紹在實際的科學研究中，如何管理一個Mathematica工程。

如何獲取正版的Mathematica軟體：國內的用戶，一般推薦從中科院軟體中心購買（郵件聯繫：mathematica@sec.ac.cn, xmi@sec.ac.cn），會有很大的優惠。

1+1

Mathematica擁有非常先進的符號計算系統，以及強大的數值計算系統。但在一開始，我先演示一下最基本的計算操作。

在歡迎界面，直接點擊左上角的「新文檔」，就可以新建一個「筆記本」。「筆記本」（notebook），是Mathematica中最常用也最便捷的文檔格式。

這裡可以看到一個橫向的游標，可以直接輸入代碼，輸入之後，就會變為常見的縱向游標。我們首先進行最為基本的計算：1+1

輸入：1+1，按下Shift+Enter，就會在下面得到計算結果：2

注意下面會出現一個「建議欄」。建議欄的作用，就是根據輸出的結果，提示一些相關的操作。這在初期階段，是非常有用的學習資源，建議開啟。

比如說，我們做另一個計算：1234+4321，得到：

直接點擊「質因數分解」，就會自動生成新的計算單元：

那麼借這個機會，我們就可以了解質因數分解需要什麼函數來處理。而要深入學習的話，則可以點擊這個函數，按F1，或者右鍵點擊「獲取幫助」，來查看Mathematica的幫助文檔。Mathematica的幫助文檔寫的非常好，非常容易理解。

幫助文檔

Mathematica的幫助文檔是Mathematica的創始人，Stephen Wolfram親自寫作的。Wolfram的經歷非常傳奇，他在15歲的時候就發表了第一篇粒子物理學論文，並發表在學術期刊上（http://www.stephenwolfram....hadronic-electrons.pdf）。而後來，他轉向對元胞自動機的研究，也「順便」開發了Mathematica語言（現在叫 Wolfram Language）。

作為自己親手締造的語言，Wolfram自然在幫助文檔上下足了功夫。比如，在幫助文檔下面，會有「參見」欄，會列出相關的函數。很多時候，如果你覺得應該有某個函數，但又不知道的時候，就可以利用「參見」欄，跳躍式的查找相應的函數。

舉個例子：我們想找到「給出下一個素數」的函數。當我們熟悉了Mathematica之後，其實在直覺上可以判斷，某個功能的函數是否存在。以我的經驗，這個函數是大概率存在的。那麼，我們從素數Prime開始查找，可以看到，「參見」欄中，有一個叫做「NextPrime」的函數，很明顯，就是我們要找的函數。

順便說一句，建議欄還存在一些bug，當輸出數據非常龐大的時候，可能會引起內核崩潰。即使是我們使用分號關閉顯式的輸出時，建議欄也可能引發崩潰。所以在熟悉了Mathematica之後，反而會建議大家關閉。

好，參考文檔暫時打住，我們回到一開始的主要目標：構造洛倫茲系統。

表達式與輸入

我們知道，公式是數學、物理研究的基石之一。所以在一開始，我們就要學會基本的表達式輸入。最基本的表達式，就是單個的符號。比如說，a, b, c這樣的代數式。我們試著計算(a+b)/b：

這裡我們用control+/鍵，可以輸入手寫形式的表達式。非常直觀，後面在使用的時候，會一一演示。大家也可以直接看屏幕左下角的鍵位記錄。

可以看到，Mathematica似乎就是按照原式直接輸出了，沒有進行化簡。實際上如果我們輸入a-a的話，可以看到，Mathematica是進行了最基本的化簡的：

想要化解前面的式子，我們可以使用Simplify函數：

這裡還是沒有任何變化。這是因為Mathematica認為這樣的表達式比a/b+1還要簡潔一些。我們試一試其他表達式：

在表達式的後面，我們加上一些限制條件。Mathematica默認代數符號是屬於複數域的，想要化簡為下面的形式，就必須制定a,b是實數。

對於一些特殊的符號，比如 、 ，可以用ESC+a+ESC, ESC+b+ESC來輸入，這在後面也會逐步介紹。

繪圖

學會輸入表達式之後，我們就可以進行函數的可視化輸出了。

進一步的，有Plot3D函數：

Mathematica中，繪圖函數基本都是這樣的格式：函數名[表達式/數據，範圍]。所以就不贅述了，在視頻教程中，有詳細的解讀。

微分方程/函數

前面說到，洛倫茲系統是由微分方程表示的。Mathematica中，使用DSolve解符號微分方程，使用NDSolve解數值微分方程。先從DSolve開始說：

其中C[1]，表示第一個待定係數，而且任意一個C[1]都是上面微分方程的解。如果有多個表達式，可以使用花括弧括起來。上面解的方程，其實就是：

可以引入邊界條件：

我們來嘗試一下解洛倫茲方程：

可以看到，Mathematica並沒有解這個方程，而是直接把輸入代碼直接輸出了。這是因為這類方程通常都沒有解析解，自然也無法直接表達出來。

這個時候，我們就需要使用數值方法來解方程。Mathematica提供了NDSolve來解數值微分方程。

其給出了一個替換列表，即將x,y,z分別替換為對應的插值函數。

這個時候，我們就可以進行可視化操作了：

上圖中，{x[t],y[t],z[t]}/.ans的意思是，使用ans中定義的x,y,z，來替換/.之前的xyz，這樣就可以將圖像繪製出來。

這裡有很多這些，可以通過修改PlotPoints來獲得更加平滑的圖像：

我們可以看到，這個方程的係數都是在代碼中給定的，如果我們想要修改係數的話，就需要回到前面的代碼中手動去改。這樣就很不方便，我們定義一個函數來返回計算結果：

函數在本質上，是一個「替換規則」。比如上圖中的，就是要將 替換為後來調用時的數值。而在調用函數時，Mathematica使用的是「模式識別」。只要符合L[{., ., .}, {., ., .}, .]的形式，都會使用後面的定義。而若是有差別，則不會報錯，而是原樣輸出。

由於這個性質，我們可以定義很多有意思的函數，比如說：

可以直接在Mathematica中按照這樣的格式定義，非常形象。（具體參見視頻教程）

科研層級的Mathematica工程

如果你處理過大規模的Mathematica程序，就會發現，每一次關閉、再打開的時候，都要重新運行之前定義過的函數。有時候有幾十個函數層層嵌套，處理起來很費時間。有時在函數中間，還會夾雜一些其他的代碼，會使得人在處理的時候，非常難受。

這個時候，就要引入Mathematica的程序包。在重新打開程序的時候，直接導入程序包，就可以導入所有需要的函數，效率會非常高。

而更重要的是，使用程序包將代碼打包，會在分享程序的時候非常有用。別人不清楚你代碼的結構，如果直接一個notebook文件發過去，他通常無法正確使用。而用程序包打包之後，問題就引刃而解了。

程序包的使用細節，參見視頻教程。

練習

大家可以嘗試使用Mathematica製作一個繪製雙縫干涉圖像的程序包。程序可以根據縫間距、波長、縫到屏幕的距離，直接繪製出圖像。大家可以訂閱我在「知識星球」上的專欄（見文章最後），在其中分享自己的作業，我會與大家進行交流。