變分法與分析力學的基本知識

04-06

引例——最速降線問題

義大利科學家伽利略在1630年提出一個分析學的基本問題 ——「一個質點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿著什麼曲線滑下所需時間最短」。

最速降線問題配圖(圖中的曲線是任意做的非最終結果)

這是一個非常經典的問題，多位著名的數學家和物理學家都給出過解答，包括微積分創始人牛頓和萊布尼茲，以及英才輩出的伯努利家族。約翰·伯努利（Johann Bernoulli）非常巧妙地結合了光學中的費馬原理給出解答，但今天我們將利用另一種方法——變分法，給出最速降線的解答。

分析力學的基本知識

變分法與分析力學緊密相連，拉格朗日（ Lagrange）藉助泛函分析中的變分法，建立了分析力學，這套理論的強大體現在：

高度的數學化，將矢量力學中的幾何與矢量統一到方程中
表述方法具有更大的普遍性
不僅適用於經典力學，還能向更複雜的系統和量子力學系統推廣

Rome was not built in a day.

無論多麼高深的理論都要從基礎學起

下面開始我們的基礎內容

自由度與廣義坐標

自由度：一般來講，我們將能夠單值確定一個系統的位置所必須給出的獨立量的數目，稱為系統的自由度。

例如，在三維空間中描述一個質點需要3個坐標，系統的自由度就為3；同樣，描述由n個質點就需要3n個坐標，系統自由度為3n。

廣義坐標：描述系統位形所需要的獨立參數。

廣義坐標的選取不唯一，無論是線量還是角量，電荷量，電磁場的場量都可以。根據問題的不同，我們選取最方便求解的廣義坐標即可。

對於一個具有 s 個自由度的系統我們有

$vec r=vec r(q_{1},q_{2},...,q_{s})$ ，其中 $q_i=q_i (t)$

即用 s 個廣義坐標來表徵位矢，類比矢量力學 $vec v=frac{{ m d}vec r}{{ m d}t}$ ,我們可以導出廣義速度,即

$dot q_i=frac{{ m d}q_i}{{ m d}t}$

通常我們把時間和坐標以及速度一起考慮，定義一個函數

$L=L(t;q_1,q_2,...,q_s;dot q_1,dot q_2,...,dot q_s)$

以下簡記為

$L=L(t,q,dot q)$

最小作用量原理(Principle of least action)

若在 $t=t_1$ 和 $t=t_2$ 時刻，系統的的兩個位置分別由兩組坐標 $q^{(1)}$ 和 $q^{(2)}$ 確定，那麼系統在這兩個位置之間的運動使如下積分

$S=int_{t_1}^{t_2} L(t,q,dot q) { m d}t$

取得最小值，其中 $L(t,q,dot q)$ 稱為系統的拉格朗日函數或拉格朗日量(Lagrangian), $S$ 稱為作用量(action)

那麼 $L(t,q,dot q)$ 滿足什麼條件才能令上述積分取得最小值呢？這就引出了我們下面將要提到的變分法

變分法的基本知識

作用量可以寫成 $S=S,[,q(t),]$ ,可以看出 $S$ 以一個函數為自變數。在數學上這稱之為泛函，從映射的角度看，即

$S：V ightarrow mathbb{C}$

其中 $V$ 是線性空間或者有時可以理解為函數空間

結合微積分的知識，我們知道自變數的微分形如 ${ m d}x$ ，將這一概念推廣到泛函就是變分，形如 $delta q$

同理，微分 ${ m d}y=f(x+{ m d}x)-f(x)$ ,泛函的變分可類比為

$delta S=S[q(t)+delta q(t)]-S[q(t)]$

回憶微積分中，函數取極值的必要條件為

$frac{{ m d}y}{{ m d}x}=0$

同樣對於泛函取極值的必要條件則為

$delta S=0$

上式也為最小作用量原理的另一種表達形式

歐拉—拉格朗日方程(Euler-Lagrange Equation)的導出

函數 $q=q(t)$ 在 $t=t_1$ 和 $t=t_2$ 時刻分別取值為 $q^{(1)}$ 和 $q^{(2)}$ ，得到邊界條件

$delta ,q(t_1)=0 qquad delta ,q(t_2)=0$

將 $delta S$ 展開寫可得

$delta S=int_{t_1}^{t_2} , [L(t,q+delta q,dot q+delta q )-L(t,q,dot q)] , { m d}t$

注意到上式實際上是 $S$ 的全微分，所以可以寫成

$delta S=int_{t_1}^{t_2} ( frac{partial L}{partial q} delta q + frac{partial L}{partial dot q} delta{dot q}) , { m d}t$

微分和變分運算可以交換次序，即 $delta , { m d}x={ m d} , delta x$ 且 $delta , frac{{ m d}x} {{ m d}t} =frac { m d} {{ m d}t} , delta x$ ,對第二項分部積分

$int_{t_1}^{t_2} ( frac{partial L}{partial q} delta q + frac{partial L}{partial dot q} delta{dot q}) , { m d}t=int_{t_1}^{t_2} frac{partial L}{partial q} delta q , { m d}t + frac{partial L}{partial dot q} , delta q , { Bigg |}_{t_1}^{t_2} , -int_{a}^{b} frac{{ m d}}{{ m d}t} frac{partial L}{partialdot q} , delta q , { m d}t$

帶入邊界條件，上式第二項 $frac{partial L}{partial dot q} , delta q , { Bigg |}_{t_1}^{t_2} =0$ ，因此

$delta S=int_{t_1}^{t_2} ( frac{partial L}{partial q} , -frac{{ m d}}{{ m d}t} frac{partial L}{partial dot q} ) , { m d}t =0$

因為 $t_1 e t_2$ 所以根據定積分的性質可知，被積函數等於零，即

$frac{partial L}{partial q} , -frac{{ m d}}{{ m d}t} frac{partial L}{partial dot q} =0$

上式就是著名的歐拉—拉格朗日方程(Euler—Lagrange Equation)

事實上，我們討論的是有 $s$ 個自由度的系統，最後應該解得 $s$ 個不同的 $q_i(t)$

歐拉—拉格朗日方程可以改寫為方程組形式

$frac{partial L}{partial q_i} , -frac{{ m d}}{{ m d}t} frac{partial L}{partial dot q_i} =0 qquad (i=1,2,...,s)$

最速降線問題的求解

有了以上的工具，我們就能利用變分法求解文章開始給出的引例—最速降線問題，回憶問題的提出：一個質點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿著什麼曲線滑下所需時間最短。

以起始點 $A$ 為原點建立如圖所示的坐標系，質點只受重力，所以系統機械能守恆

$frac{1}{2}mv^2 =mgy qquad v=sqrt{2gy}$

其中 $v=frac{{ m d}s}{{ m d}t}$ ，且 ${ m d}s^2={ m d}x^2+{ m d}y^2$

設 $x=x(y)$ , 因此 $x(0)=0 qquad x(h)=x_0$

這樣做是有好處的，後面我們將被積函數帶入歐拉—拉格朗日方程時，會極大的簡化計算；當然，理論上設 $y=y(x)$ 也沒有問題，感興趣的朋友可以試試，計算量與前者相比較大，需要不斷的利用求導的一系列法則。

於是 ${ m d}s={ m d}ysqrt{1+[x(y)]^2}$ 以下 $x(y)$ 均簡記為 $x$

帶入機械能守恆的結果得

${ m d}t=sqrt{frac{1+(x)^2}{2gy}} , { m d}y qquad t=int_{0}^{h} sqrt{frac{1+(x)^2}{2gy}} , { m d}y$

到了這一步我們得到了一個表示時間的積分，問題變得清晰具體了:什麼形式的 $x(y)$ ，可讓時間最短，即積分取得最小值。

不妨設 $L=L(y,x,x)=sqrt{frac{1+(x)^2}{2gy}}$

根據我們上邊給出的基本的做法，將 $L$ 帶入歐拉—拉格朗日方程，顯然被積函數不顯含 $x$ 可以立即得到 $frac{partial L}{partial x}=0$ , 最後只有

$frac{{ m d}}{{ m d}y} frac{partial L}{partial x}=0$ 等式兩邊對 $y$ 積分可得

$frac{partial L}{partial x}=frac{x}{sqrt{y[1+(x)^2]}}=C$

其中 $frac{1}{sqrt{2g}}$ 已經歸到積分常數里，這一步操作不會影響最後結果

等式兩端經過平方移項整理後得

$x=frac{{ m d}x}{{ m d}y}=sqrt{frac{Cy}{1-Cy}}=sqrt{frac{y}{D-y}}$ 其中設 $D=frac{1}{C}$

$x=int_{0}^{h}sqrt{frac{y}{D-y}} { m d}y$

上式積分做變數代換就可以算出來，令 $y=D , {sin^2} varphi$ 則 ${ m d}y=2D sinvarphi cos varphi$ 代入

$egin{align} x&=Dint_{0}^{ heta} 2 , {sin}^2 varphi { m d}varphi \ &=Dint_{0}^{ heta}(1-cos 2varphi) { m d}varphi \ &=D ( heta-frac{1}{2} sin 2 heta ) end{align}$

$left { egin{align} x &=D ( heta-frac{1}{2}sin 2 heta ) \ y &=D {sin}^2 heta end{align} ight .$

其中常數 $D$ 由邊界條件確定

至此我們就得出了最速降線的一組參數方程，而且是數學中的擺線方程。

很有意思的結果，我們算出來最速降線竟然是擺線，而不是如伽利略所猜測的圓弧線。在驚奇的同時，無論它是否與我們的直覺相符，我們也必須接受這一結果，因為這是我們「實打實」算出來的，不容置疑。

有心力場中圓周運動的方程

在保守體系下，系統的拉格朗日量為動能 $(T)$ 減去勢能 $(V)$ ，即

$L=T-V$

有心力場可以選取極坐標系，取 $(r, heta)$ 為廣義坐標，則

$L=frac{1}{2}mv^2+frac{alpha}{r}$

第二項為有心力場的勢能形式，為了理解起來方便，可以認為是引力勢或庫倫勢（電勢），因為這二者所描述的場是典型的有心力場。

在極坐標系下有如下的矢量關係

$vec r=r vec e_r qquad vec v=dot r vec e_r+r dot heta vec e_ heta$ 代入拉格朗日量

$L=frac{1}{2}m(,dot r^2 +r^2 {dot heta^2} )+frac{alpha}{r}$ , 由拉格朗日方程有

$egin{cases} mr dot heta^2- displaystyle frac {alpha}{r^2}-m ddot r=0 \ \ mr^2 ddot heta=0 end{cases}$

得到 $egin{cases} heta =omega t \ \ mddot r=m omega^2 r -displaystyle frac{alpha}{r^2} end{cases}$

我們不僅知道了角位移與角速度的關係，還可以從第二個方程中得到在物體所受合外力等於向心力與有心力的和這一結論，這與我們在高中都知道的結論是一致的。

小結

從最速降線問題引出變分法，再到歐拉—拉格朗日方程，回過頭來解決問題，最後給出一個有心力場運動方程作為例子，這是本篇文章的大致脈絡。

本文涉及的知識相對來說比較基礎，主要內容出自前言曾提到的理論物理基礎課程的課堂筆記，部分內容出自篇末給出的參考文獻，就整體而言，經過整理和補充，知識的邏輯線變得清晰連貫。

當然，本文給出的知識只是各個數學物理領域的基礎，冰山一角。變分法中提到泛函取極值的必要條件，充分條件並未給出，其涉及更深層次的知識，若有興趣可以閱讀參考文獻中老大中老師的《變分法基礎》；分析力學中，我們給出了一些拉格朗日力學的基本概念，並求解了一些典型問題，事實上分析力學這套理論不僅適用與經典力學，還可以推廣到量子力學。最令筆者眼前一亮的是，看似和分析力學關係很遠的電路分析，也可以使用這套理論，寫出電路的拉格朗日量，具體是如何實現的，請閱讀參考文獻中復旦大學金尚年馬永利老師的《理論力學》。

限於筆者水平有限，文章若有不當之處，懇請專業人士批評指正。

下回預告

本文用變分法和分析力學小試牛刀，解決了幾個問題，這套理論的威力要遠遠比這些更強大，因此下一篇文章將聚焦電動力學，通過引入四維矢量(4-vector)來表述電磁場的拉格朗日量(拉格朗日密度)，並由此推導出著名的麥克斯韋方程組(Maxwell Equations)

參考文獻

朗道, 栗弗席茲著：李俊峰, 鞠國興譯校. 理論物理學教程第一卷力學（第五版）[M]. 北京:高等教育出版社, 2007.
金尚年, 馬永利. 理論力學（第二版）[M]. 北京:高等教育出版社, 2002.
張建樹, 孫秀泉, 張正軍. 現代物理基礎叢書6 理論力學[M]. 北京:科學出版社, 2005.
老大中. 變分法基礎（第2版）[M]. 北京:國防大學出版社, 2007.