2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4 (IV)

04-06

我們在第一篇中提到的老先生J. W. S. Cassels在這篇文章一開始就下了一個論斷：

Number theory is an experimental science.

我們的故事也不例外。但是這個實驗一點也不輕鬆，我們如果不翻越無數代數計算的荊棘就沒有辦法實現我們的目的。我們從第三篇里隨便挑一個二次型來回顧一下Zagier的計算過程。

取十四個候選中的其中一個，例如 $(alpha,eta)=(3,-2)$ .

我們得到二次曲線 $Q: 29(x^2-xy+y^2)-12(xy+z^2)+(x-y)z=0$ . 為了把它參數化，需要找到曲線上的一個有理點。通過(哪怕是計算器)計算，不難找到這個點，它就是 $(6,3,7)$ .用類似於球極投影的方式[註：也就是過二次曲線上已知的點作給定斜率的直線，我們可以用斜率的有理函數表示出另一點的坐標，這建立了 $mathbb{P}^1$ 與二次曲線之間的一一映射]，藉助這個有理點的坐標，可以得到x, y, z參數化後的表達式。

$x=6u^2+55uv+68v^2$

$y=3u^2+55uv+136v^2$

$z=7u^2+51uv+153v^2$

回想 $t^2=z^4-x^4-y^4$ , 我們可以得到(當然是用計算機)

$t=32u^4+258u^3v+279u^2v^2-3978uv^3-13583v^4$

係數並不是很小。我們當然想讓上面等式的右邊是一個非零的平方數，但是為了從十幾個係數為成千上萬的多項式中篩選出合適的多項式，就需要用再次藉助同餘的手段，縮小我們的搜索範圍。回顧第二篇的內容，我們希望 $P(x,y,z)=pm t_0^2$ ，同時有 $Q(x,y,z)=0$ . 在這裡我們借用Elkies的方法來處理這裡的同餘關係。

第三篇中我們給出了一族多項式Q(x,y,z)的表達式。同樣我們可以寫出一族P(x,y,z)的表達式。P的表示並不唯一[但其實不同的表示是雙有理等價的]，因此我們找其中最簡單的一族, 也就是

$(2eta/alpha-1)(x^2+y^2-xy)+(xy+z^2)-(2eta/alpha)(x-y)z$

我們令它等於 $pm t_0^2$ . 作換元 $u^prime=x+y,v^prime=x-y$ , 與第三篇中的Q的表達式聯立起來，注意到兩個表達式中u』都只有二次項，因此消去u』。經過[耐心的]運算，我們可以得到

$(2eta^2-alpha^2){v^prime}^2-(2eta^2-alpha^2)z^2-4alphaeta vz=pm(2eta^2+alpha^2)t_0^2$

走一下配方法的路子，立刻就可以得到

$(alpha^4+4eta^4){v^prime}^2-w^2=pm(2eta^2-alpha^2)(2eta^2+alpha^2)t_0^2$

其中 $w=(2eta^2-alpha^2)z+2alphaeta v^prime$

這樣我們就回到了我們已經熟悉的套路：Minkowski定理。用上一篇的推導，可以得到兩組額外的限制：

a) $alpha^2-2alphaeta+2eta^2$ 的奇質因數如果冪次為奇數, 那麼那麼這個質因子模8餘1;

b) $alpha^2+2alphaeta+2eta^2$ 的奇質因數如果冪次為奇數, 那麼那麼這個質因子模8餘1;

這就進一步縮小了搜索的範圍。用這個約束我們可以把十四組候選縮小到兩組：

(5,-8),(7,-4)

[補註：其實後一組(7,-4)也應當抹去，因為它沒有模5的非平凡解]

根據這兩組解，Zagier得到了兩個係數巨大的四次齊次多項式，它們的係數按u的冪從高到低分別為

$(184cdot 233^2,320922cdot233,130661741,320 922cdot 313, 184cdot313^2)$

$(3697cdot 137^2, 2372652cdot 137, 573811862, 2372652cdot 193, 3697cdot 193^2)$

當Zagier從事這些計算的時候，他已經離開了Berkeley，前往蘇聯。1987年的蘇聯並不會向來訪者開放計算機資源，因此Zagier只能利用手邊的一個可編程計算器來計算這些多項式的值。計算器的顯示位數畢竟有限，因此對於稍微大一點的u，v，就沒有辦法判斷多項式的值是不是平方數。Zagier本人認為搜索這樣的一個多項式並不是迫在眉睫的事情(當然他手邊也沒有足夠的計算資源：-）)，因此他決定把手頭的計算放一放。但是Zagier錯了，他被小他十幾歲的Noam Elkies搶了先。Zagier是這樣回顧自己與新發現失之交臂的故事的(黑體字是我標註的)：

Unfortunately, I was wrong: When I returned to Bonn at the end of my Moscow stay, I was met by my friend and collaborator Dick Gross, who told me excitedly that a famous question of Diophantine Analysis posed by Euler had just been solved by the very young mathematician Noam Elkies. I immediately went to the computer of our institute (a very primitive one indeed, but still a lot better than a pocket calculator!) to type in and run my own program, and within seconds discovered that [指Euler猜想的反例]...so that I too had solved Euler』s problem. But it was too late: On a problem that had been open for well over two centuries, I had been scooped by just a few days. Needless to say, I immediately went out and bought a portable computer (a Toshiba) that thenceforth accompanied me everywhere.

Zagier總結了一條教訓：

If you are a number theorist, then buy a laptop, learn how to use it, and never leave home without it!

相比之下，Elkies就比Zagier幸運一點：Zagier在蘇聯的時候沒有計算資源可用，但是Elkies有哈佛的VAX可用。用計算機計算(5,-8)得到的多項式是否滿足要求不過是舉手之勞：一個簡單的二重循環就可以找到(u,v)=(61,5)滿足要求。根據這一組(u,v), 我們就找到了第一個Euler猜想的反例：

$2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4$

這一年他21歲。Elkies因為這個還上了1988年的The New York Times, 然而這只是一位高手學術生涯的開始而已。

我們的故事就到此為止。

Remark1：本篇中對 $(alpha,eta)$ 的進一步約束同時出現在Elkies和Zagier兩個人的文章里。這幾個對 $(alpha,eta)$ 的約束是十分強力的。將我們的搜索範圍擴大到 $vertalphavertleq20,vert etavertleq20$ ,滿足所有條件的 $(alpha,eta)$ 也只增加了四個：

(1,-20)(5,12)(9,-20)(15,-8).

其中(9,-20)給出了Euler猜想的最小反例

$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$ .

Remark2：題圖是一族橢圓曲線。橢圓曲線的算術與Zagier及Elkies的發現密切相關，但那就是另一個說不完的故事了。

參考文獻

[1]Malter, Aimeric, Dierk Schleicher, and Don Zagier. "New Looks at Old Number Theory." American Mathematical Monthly 120.3 (2013): 243-264.

[2]Elkies, Noam D. "On $A^4+B^4+C^4=D^4$ ." Mathematics of Computation(1988): 825-835.

[3]Bremner, A. "ON EULERS QUARTIC SURFACE." Mathematica Scandinavica 61 (1987): 165-180.