Phase Space相關(1)-Wigner函數的性質

04-05

定義及唯像的解釋

給定系統的密度矩陣 $hat{ ho}$ , Wigner函數定義為:

$W(x,p)=frac{1}{2pihbar}int_{-infty}^inftymathrm{d}xiexp(-frac{i}{hbar}pxi)langle x+frac{xi}{2}|hat{ ho}|x-frac{xi}{2} angle.$

這個函數的定義可以這樣唯像地解釋: 把原子的運動看成一種躍遷, 那麼從 $x$ 到 $x$ 的躍遷的躍遷幾率幅則可以看成是矩陣元 $langle x|hat{ ho}|x angle$ . 定義 $x$ 和 $x$ 的平均位置為 $x$ , 相距(即躍遷的位移)為 $xi$ , 於是這個矩陣元便有了這樣的形式 $langle x+frac{xi}{2}|hat{ ho}|x-frac{xi}{2} angle$ . 在這個"跳躍"的過程中動量 $p$ 顯然與 $xi$ 是一對共軛量, 故我們可以將該矩陣元變換到動量空間, 傅立葉變換後即為 $W(x,p)$ .

Wigner函數的性質

1. 邊緣分布:

$langle x|hat{ ho}|x angle=int_{-infty}^inftymathrm{d}p W(x,p),$

$langle p|hat{ ho}|p angle=int_{-infty}^inftymathrm{d}x W(x,p).$

2. 態的overlap:

$mathrm{Tr}(hat{ ho}_1hat{ ho}_2)=2pihbarint_{-infty}^inftymathrm{d}xint_{-infty}^inftymathrm{d}pW_{hat{ ho}_1}(x,p)W_{hat{ ho}_2}(x,p).$

3. 態的體積

$mathrm{Tr}(hat{ ho}^2)leq1Rightarrow 1/(int_{-infty}^inftymathrm{d}xint_{-infty}^inftymathrm{d}pW_{hat{ ho}}^2(x,p))geq2pihbar.$

若把Wigner函數看成概率分布函數, 此式左邊分母是Wigner函數的平均"高度", 其倒數是該函數體積合適的定義(可以自行驗證常見分布函數, 比如高斯分布, 勞倫斯分布). 此式表明, 態空間中純態的體積為 $2pihbar$ , 混態體積小於此.

4.Wigner函數的上界, 且可以取負值

$|W(x,p)|leqfrac{1}{pihbar}.$

Wigner函數的時間演化

從方程 $partialhat{ ho}/partial t =-i[hat{H},hat{ ho}]/hbar$ 出發, 考慮到 $hat{H}=mathcal{T}+mathcal{U}=hat{p}^2/2M+hat{U}(hat{x})$ , 於是有Wigner函數的演化方程(Quantum Liouville Equation):

$(frac{partial}{partial t}+frac{p}{M}frac{partial}{partial x}-frac{mathrm{d}U(x)}{mathrm{d}x}frac{partial}{partial p})W(x,p;t)=sum_{l=1}^inftyfrac{(-1)^l(hbar/2)^{2l}}{(2l+1)!}frac{mathrm{d}^{2l+1}U(x)}{mathrm{d}x^{2l+1}}frac{partial^{2l+1}}{partial p^{2l+1}}W(x,p;t).$

該方程有一不便之處, 想要知道Wigner函數, 必須先解薛定諤方程求出態, 之後轉換成Wigner函數才可帶入上式求解. 於是我們需要引入求Winger函數定態解的相空間方程(Phase Space Equations).

首先引入Moral函數, 給定Hamiltonian, 有定態方程 $hat{H}|E angle=E|E angle$ . 於是我們定義Moral函數為:

$W_{|E anglelangle E|}(x,p)=frac{1}{2pihbar}int_{-infty}^infty e^{-ipxi/hbar}langle x+frac{1}{2}xi|E anglelangle E|x-frac{1}{2}xi angle.$

該函數即為該Hamiltonian本徵空間的矩陣元一般形式, 有了它我們就獲得了該空間的全部信息.

給定Hamiltonian後, Moral函數可以直接通過相空間方程解出, 相空間方程為:

$Big[frac{p^2}{2M}+U-frac{hbar^2}{8M}frac{partial^2}{partial x^2}+sum_{l=1}^inftyfrac{(-1)^l(hbar/2)^{2l}}{(2l)!}frac{mathrm{d}^{2l}U(x)}{mathrm{d}x^{2l}}frac{partial^{2l}}{partial p^{2l}}Big]W_{|E anglelangle E|}=frac{E+E}{2}W_{|E anglelangle E|},$

$Big[frac{p}{M}frac{partial}{partial x}-frac{mathrm{d}U}{mathrm{d}x}frac{partial}{partial p}-sum_{l=1}^inftyfrac{(-1)^l(hbar/2)^{2l}}{(2l+1)!}frac{mathrm{d}^{2l+1}U(x)}{mathrm{d}x^{2l+1}}frac{partial^{2l+1}}{partial p^{2l+1}}Big]W_{|E anglelangle E|}=frac{i}{hbar}(E-E)W_{|E anglelangle E|}.$

例子-諧振子

諧振子的勢能 $U(x)=MOmega^2x^2/2.$ 將其帶入相空間方程, 可得:

$Big[frac{p^2}{2M}+frac{1}{2}MOmega^2x^2-frac{hbar^2}{8M}frac{partial^2}{partial x^2}-frac{hbar^2MOmega^2}{8}frac{partial^2}{partial p^2}Big]W_{|E angle}(x,p)=EW_{|E angle}(x,p),$

$Big[frac{p}{M}frac{partial}{partial x}-MOmega^2xfrac{partial}{partial p}Big]W_{|E angle}(x,p)=0.$

為了處理方便, 做如下替換 $kappa=(MOmega/hbar)^{1/2}, xi=kappa x, zeta=p/(hbarkappa),eta=E/(hbarOmega).$ 於是方程變為:

$frac{1}{4}Big[frac{partial^2}{partialzeta^2}+frac{partial^2}{partialxi^2}Big]W_{|eta angle}(xi,zeta)+[2eta-(zeta^2+xi^2)]W_{|eta angle}(xi,zeta)=0,$

$Big(zetafrac{partial}{partialxi}-xifrac{partial}{partialzeta}Big)W_{|eta angle}(xi,zeta)=0.$

由第二個方程可知 $W_{|eta angle}(xi,zeta)=W(xi^2+zeta^2)=W(y).$ 帶入第一個方程, 有:

$(yfrac{mathrm{d}^2}{mathrm{d}y^2}+frac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}+2eta-y)W_{|eta angle}=0.$

該方程當 $y ightarrowinfty$ 時, 簡化為 $(mathrm{d}^2/mathrm{d}y^2-1)W=0,$ 即 $W$ 漸近於 $e^{-y}$ , 於是假設 $W_{|eta angle}=L(y)e^{-y},$ 其中 $L(y)$ 為多項式, 令 $L(y)=sum_{j=0}^infty c_jy^j,$ 帶入原方程可得遞推式. 由於Wigner函數的可歸一性, 該多項式必然在某項截斷, 於是該微分方程便有了離散本徵解, 解為:

$W_{|eta angle}=c_0L_m(2y)e^{-y}.$

其中 $L_m(x)=sum_{j=0}^minom{m}{j}frac{(-x)^j}{j!}$ 為 $m$ 階Laguerre多項式, $c_0$ 為歸一化係數. 將代換帶回, 求出歸一化係數, 得最終諧振子本徵態 $|m angle$ 的Wigner函數為:

$W_{|m angle}(x,p)=frac{(-1)^m}{pihbar}expBig{-Big[Big(frac{p}{hbarkappa}Big)^2+(kappa x)^2Big]Big}L_mBig{2Big[Big(frac{p}{hbarkappa}Big)^2+(kappa x)^2Big]Big}.$